-0,016 738 891 601 562 531 61 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,016 738 891 601 562 531 61(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,016 738 891 601 562 531 61(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,016 738 891 601 562 531 61| = 0,016 738 891 601 562 531 61


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,016 738 891 601 562 531 61.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,016 738 891 601 562 531 61 × 2 = 0 + 0,033 477 783 203 125 063 22;
  • 2) 0,033 477 783 203 125 063 22 × 2 = 0 + 0,066 955 566 406 250 126 44;
  • 3) 0,066 955 566 406 250 126 44 × 2 = 0 + 0,133 911 132 812 500 252 88;
  • 4) 0,133 911 132 812 500 252 88 × 2 = 0 + 0,267 822 265 625 000 505 76;
  • 5) 0,267 822 265 625 000 505 76 × 2 = 0 + 0,535 644 531 250 001 011 52;
  • 6) 0,535 644 531 250 001 011 52 × 2 = 1 + 0,071 289 062 500 002 023 04;
  • 7) 0,071 289 062 500 002 023 04 × 2 = 0 + 0,142 578 125 000 004 046 08;
  • 8) 0,142 578 125 000 004 046 08 × 2 = 0 + 0,285 156 250 000 008 092 16;
  • 9) 0,285 156 250 000 008 092 16 × 2 = 0 + 0,570 312 500 000 016 184 32;
  • 10) 0,570 312 500 000 016 184 32 × 2 = 1 + 0,140 625 000 000 032 368 64;
  • 11) 0,140 625 000 000 032 368 64 × 2 = 0 + 0,281 250 000 000 064 737 28;
  • 12) 0,281 250 000 000 064 737 28 × 2 = 0 + 0,562 500 000 000 129 474 56;
  • 13) 0,562 500 000 000 129 474 56 × 2 = 1 + 0,125 000 000 000 258 949 12;
  • 14) 0,125 000 000 000 258 949 12 × 2 = 0 + 0,250 000 000 000 517 898 24;
  • 15) 0,250 000 000 000 517 898 24 × 2 = 0 + 0,500 000 000 001 035 796 48;
  • 16) 0,500 000 000 001 035 796 48 × 2 = 1 + 0,000 000 000 002 071 592 96;
  • 17) 0,000 000 000 002 071 592 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 143 185 92;
  • 18) 0,000 000 000 004 143 185 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 008 286 371 84;
  • 19) 0,000 000 000 008 286 371 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 016 572 743 68;
  • 20) 0,000 000 000 016 572 743 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 033 145 487 36;
  • 21) 0,000 000 000 033 145 487 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 066 290 974 72;
  • 22) 0,000 000 000 066 290 974 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 132 581 949 44;
  • 23) 0,000 000 000 132 581 949 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 265 163 898 88;
  • 24) 0,000 000 000 265 163 898 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 530 327 797 76;
  • 25) 0,000 000 000 530 327 797 76 × 2 = 0 + 0,000 000 001 060 655 595 52;
  • 26) 0,000 000 001 060 655 595 52 × 2 = 0 + 0,000 000 002 121 311 191 04;
  • 27) 0,000 000 002 121 311 191 04 × 2 = 0 + 0,000 000 004 242 622 382 08;
  • 28) 0,000 000 004 242 622 382 08 × 2 = 0 + 0,000 000 008 485 244 764 16;
  • 29) 0,000 000 008 485 244 764 16 × 2 = 0 + 0,000 000 016 970 489 528 32;
  • 30) 0,000 000 016 970 489 528 32 × 2 = 0 + 0,000 000 033 940 979 056 64;
  • 31) 0,000 000 033 940 979 056 64 × 2 = 0 + 0,000 000 067 881 958 113 28;
  • 32) 0,000 000 067 881 958 113 28 × 2 = 0 + 0,000 000 135 763 916 226 56;
  • 33) 0,000 000 135 763 916 226 56 × 2 = 0 + 0,000 000 271 527 832 453 12;
  • 34) 0,000 000 271 527 832 453 12 × 2 = 0 + 0,000 000 543 055 664 906 24;
  • 35) 0,000 000 543 055 664 906 24 × 2 = 0 + 0,000 001 086 111 329 812 48;
  • 36) 0,000 001 086 111 329 812 48 × 2 = 0 + 0,000 002 172 222 659 624 96;
  • 37) 0,000 002 172 222 659 624 96 × 2 = 0 + 0,000 004 344 445 319 249 92;
  • 38) 0,000 004 344 445 319 249 92 × 2 = 0 + 0,000 008 688 890 638 499 84;
  • 39) 0,000 008 688 890 638 499 84 × 2 = 0 + 0,000 017 377 781 276 999 68;
  • 40) 0,000 017 377 781 276 999 68 × 2 = 0 + 0,000 034 755 562 553 999 36;
  • 41) 0,000 034 755 562 553 999 36 × 2 = 0 + 0,000 069 511 125 107 998 72;
  • 42) 0,000 069 511 125 107 998 72 × 2 = 0 + 0,000 139 022 250 215 997 44;
  • 43) 0,000 139 022 250 215 997 44 × 2 = 0 + 0,000 278 044 500 431 994 88;
  • 44) 0,000 278 044 500 431 994 88 × 2 = 0 + 0,000 556 089 000 863 989 76;
  • 45) 0,000 556 089 000 863 989 76 × 2 = 0 + 0,001 112 178 001 727 979 52;
  • 46) 0,001 112 178 001 727 979 52 × 2 = 0 + 0,002 224 356 003 455 959 04;
  • 47) 0,002 224 356 003 455 959 04 × 2 = 0 + 0,004 448 712 006 911 918 08;
  • 48) 0,004 448 712 006 911 918 08 × 2 = 0 + 0,008 897 424 013 823 836 16;
  • 49) 0,008 897 424 013 823 836 16 × 2 = 0 + 0,017 794 848 027 647 672 32;
  • 50) 0,017 794 848 027 647 672 32 × 2 = 0 + 0,035 589 696 055 295 344 64;
  • 51) 0,035 589 696 055 295 344 64 × 2 = 0 + 0,071 179 392 110 590 689 28;
  • 52) 0,071 179 392 110 590 689 28 × 2 = 0 + 0,142 358 784 221 181 378 56;
  • 53) 0,142 358 784 221 181 378 56 × 2 = 0 + 0,284 717 568 442 362 757 12;
  • 54) 0,284 717 568 442 362 757 12 × 2 = 0 + 0,569 435 136 884 725 514 24;
  • 55) 0,569 435 136 884 725 514 24 × 2 = 1 + 0,138 870 273 769 451 028 48;
  • 56) 0,138 870 273 769 451 028 48 × 2 = 0 + 0,277 740 547 538 902 056 96;
  • 57) 0,277 740 547 538 902 056 96 × 2 = 0 + 0,555 481 095 077 804 113 92;
  • 58) 0,555 481 095 077 804 113 92 × 2 = 1 + 0,110 962 190 155 608 227 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,016 738 891 601 562 531 61(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 01(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,016 738 891 601 562 531 61(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 01(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,016 738 891 601 562 531 61(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 01(2) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 01(2) × 20 =

1,0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001(2) × 2-6


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 =

0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001


Numărul zecimal -0,016 738 891 601 562 531 61 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1001 - 0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001

Distribuie

» Scriere -0,016 738 891 601 562 531 59 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100