-0,016 738 891 601 562 553 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,016 738 891 601 562 553(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,016 738 891 601 562 553(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,016 738 891 601 562 553| = 0,016 738 891 601 562 553


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,016 738 891 601 562 553.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,016 738 891 601 562 553 × 2 = 0 + 0,033 477 783 203 125 106;
  • 2) 0,033 477 783 203 125 106 × 2 = 0 + 0,066 955 566 406 250 212;
  • 3) 0,066 955 566 406 250 212 × 2 = 0 + 0,133 911 132 812 500 424;
  • 4) 0,133 911 132 812 500 424 × 2 = 0 + 0,267 822 265 625 000 848;
  • 5) 0,267 822 265 625 000 848 × 2 = 0 + 0,535 644 531 250 001 696;
  • 6) 0,535 644 531 250 001 696 × 2 = 1 + 0,071 289 062 500 003 392;
  • 7) 0,071 289 062 500 003 392 × 2 = 0 + 0,142 578 125 000 006 784;
  • 8) 0,142 578 125 000 006 784 × 2 = 0 + 0,285 156 250 000 013 568;
  • 9) 0,285 156 250 000 013 568 × 2 = 0 + 0,570 312 500 000 027 136;
  • 10) 0,570 312 500 000 027 136 × 2 = 1 + 0,140 625 000 000 054 272;
  • 11) 0,140 625 000 000 054 272 × 2 = 0 + 0,281 250 000 000 108 544;
  • 12) 0,281 250 000 000 108 544 × 2 = 0 + 0,562 500 000 000 217 088;
  • 13) 0,562 500 000 000 217 088 × 2 = 1 + 0,125 000 000 000 434 176;
  • 14) 0,125 000 000 000 434 176 × 2 = 0 + 0,250 000 000 000 868 352;
  • 15) 0,250 000 000 000 868 352 × 2 = 0 + 0,500 000 000 001 736 704;
  • 16) 0,500 000 000 001 736 704 × 2 = 1 + 0,000 000 000 003 473 408;
  • 17) 0,000 000 000 003 473 408 × 2 = 0 + 0,000 000 000 006 946 816;
  • 18) 0,000 000 000 006 946 816 × 2 = 0 + 0,000 000 000 013 893 632;
  • 19) 0,000 000 000 013 893 632 × 2 = 0 + 0,000 000 000 027 787 264;
  • 20) 0,000 000 000 027 787 264 × 2 = 0 + 0,000 000 000 055 574 528;
  • 21) 0,000 000 000 055 574 528 × 2 = 0 + 0,000 000 000 111 149 056;
  • 22) 0,000 000 000 111 149 056 × 2 = 0 + 0,000 000 000 222 298 112;
  • 23) 0,000 000 000 222 298 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 444 596 224;
  • 24) 0,000 000 000 444 596 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 889 192 448;
  • 25) 0,000 000 000 889 192 448 × 2 = 0 + 0,000 000 001 778 384 896;
  • 26) 0,000 000 001 778 384 896 × 2 = 0 + 0,000 000 003 556 769 792;
  • 27) 0,000 000 003 556 769 792 × 2 = 0 + 0,000 000 007 113 539 584;
  • 28) 0,000 000 007 113 539 584 × 2 = 0 + 0,000 000 014 227 079 168;
  • 29) 0,000 000 014 227 079 168 × 2 = 0 + 0,000 000 028 454 158 336;
  • 30) 0,000 000 028 454 158 336 × 2 = 0 + 0,000 000 056 908 316 672;
  • 31) 0,000 000 056 908 316 672 × 2 = 0 + 0,000 000 113 816 633 344;
  • 32) 0,000 000 113 816 633 344 × 2 = 0 + 0,000 000 227 633 266 688;
  • 33) 0,000 000 227 633 266 688 × 2 = 0 + 0,000 000 455 266 533 376;
  • 34) 0,000 000 455 266 533 376 × 2 = 0 + 0,000 000 910 533 066 752;
  • 35) 0,000 000 910 533 066 752 × 2 = 0 + 0,000 001 821 066 133 504;
  • 36) 0,000 001 821 066 133 504 × 2 = 0 + 0,000 003 642 132 267 008;
  • 37) 0,000 003 642 132 267 008 × 2 = 0 + 0,000 007 284 264 534 016;
  • 38) 0,000 007 284 264 534 016 × 2 = 0 + 0,000 014 568 529 068 032;
  • 39) 0,000 014 568 529 068 032 × 2 = 0 + 0,000 029 137 058 136 064;
  • 40) 0,000 029 137 058 136 064 × 2 = 0 + 0,000 058 274 116 272 128;
  • 41) 0,000 058 274 116 272 128 × 2 = 0 + 0,000 116 548 232 544 256;
  • 42) 0,000 116 548 232 544 256 × 2 = 0 + 0,000 233 096 465 088 512;
  • 43) 0,000 233 096 465 088 512 × 2 = 0 + 0,000 466 192 930 177 024;
  • 44) 0,000 466 192 930 177 024 × 2 = 0 + 0,000 932 385 860 354 048;
  • 45) 0,000 932 385 860 354 048 × 2 = 0 + 0,001 864 771 720 708 096;
  • 46) 0,001 864 771 720 708 096 × 2 = 0 + 0,003 729 543 441 416 192;
  • 47) 0,003 729 543 441 416 192 × 2 = 0 + 0,007 459 086 882 832 384;
  • 48) 0,007 459 086 882 832 384 × 2 = 0 + 0,014 918 173 765 664 768;
  • 49) 0,014 918 173 765 664 768 × 2 = 0 + 0,029 836 347 531 329 536;
  • 50) 0,029 836 347 531 329 536 × 2 = 0 + 0,059 672 695 062 659 072;
  • 51) 0,059 672 695 062 659 072 × 2 = 0 + 0,119 345 390 125 318 144;
  • 52) 0,119 345 390 125 318 144 × 2 = 0 + 0,238 690 780 250 636 288;
  • 53) 0,238 690 780 250 636 288 × 2 = 0 + 0,477 381 560 501 272 576;
  • 54) 0,477 381 560 501 272 576 × 2 = 0 + 0,954 763 121 002 545 152;
  • 55) 0,954 763 121 002 545 152 × 2 = 1 + 0,909 526 242 005 090 304;
  • 56) 0,909 526 242 005 090 304 × 2 = 1 + 0,819 052 484 010 180 608;
  • 57) 0,819 052 484 010 180 608 × 2 = 1 + 0,638 104 968 020 361 216;
  • 58) 0,638 104 968 020 361 216 × 2 = 1 + 0,276 209 936 040 722 432;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,016 738 891 601 562 553(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 11(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,016 738 891 601 562 553(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 11(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,016 738 891 601 562 553(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 11(2) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 11(2) × 20 =

1,0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111(2) × 2-6


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 =

0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111


Numărul zecimal -0,016 738 891 601 562 553 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1001 - 0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111

Distribuie

» Scriere -0,016 738 891 601 562 587 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100