-0,016 738 891 601 562 738 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,016 738 891 601 562 738(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,016 738 891 601 562 738(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,016 738 891 601 562 738| = 0,016 738 891 601 562 738


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,016 738 891 601 562 738.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,016 738 891 601 562 738 × 2 = 0 + 0,033 477 783 203 125 476;
  • 2) 0,033 477 783 203 125 476 × 2 = 0 + 0,066 955 566 406 250 952;
  • 3) 0,066 955 566 406 250 952 × 2 = 0 + 0,133 911 132 812 501 904;
  • 4) 0,133 911 132 812 501 904 × 2 = 0 + 0,267 822 265 625 003 808;
  • 5) 0,267 822 265 625 003 808 × 2 = 0 + 0,535 644 531 250 007 616;
  • 6) 0,535 644 531 250 007 616 × 2 = 1 + 0,071 289 062 500 015 232;
  • 7) 0,071 289 062 500 015 232 × 2 = 0 + 0,142 578 125 000 030 464;
  • 8) 0,142 578 125 000 030 464 × 2 = 0 + 0,285 156 250 000 060 928;
  • 9) 0,285 156 250 000 060 928 × 2 = 0 + 0,570 312 500 000 121 856;
  • 10) 0,570 312 500 000 121 856 × 2 = 1 + 0,140 625 000 000 243 712;
  • 11) 0,140 625 000 000 243 712 × 2 = 0 + 0,281 250 000 000 487 424;
  • 12) 0,281 250 000 000 487 424 × 2 = 0 + 0,562 500 000 000 974 848;
  • 13) 0,562 500 000 000 974 848 × 2 = 1 + 0,125 000 000 001 949 696;
  • 14) 0,125 000 000 001 949 696 × 2 = 0 + 0,250 000 000 003 899 392;
  • 15) 0,250 000 000 003 899 392 × 2 = 0 + 0,500 000 000 007 798 784;
  • 16) 0,500 000 000 007 798 784 × 2 = 1 + 0,000 000 000 015 597 568;
  • 17) 0,000 000 000 015 597 568 × 2 = 0 + 0,000 000 000 031 195 136;
  • 18) 0,000 000 000 031 195 136 × 2 = 0 + 0,000 000 000 062 390 272;
  • 19) 0,000 000 000 062 390 272 × 2 = 0 + 0,000 000 000 124 780 544;
  • 20) 0,000 000 000 124 780 544 × 2 = 0 + 0,000 000 000 249 561 088;
  • 21) 0,000 000 000 249 561 088 × 2 = 0 + 0,000 000 000 499 122 176;
  • 22) 0,000 000 000 499 122 176 × 2 = 0 + 0,000 000 000 998 244 352;
  • 23) 0,000 000 000 998 244 352 × 2 = 0 + 0,000 000 001 996 488 704;
  • 24) 0,000 000 001 996 488 704 × 2 = 0 + 0,000 000 003 992 977 408;
  • 25) 0,000 000 003 992 977 408 × 2 = 0 + 0,000 000 007 985 954 816;
  • 26) 0,000 000 007 985 954 816 × 2 = 0 + 0,000 000 015 971 909 632;
  • 27) 0,000 000 015 971 909 632 × 2 = 0 + 0,000 000 031 943 819 264;
  • 28) 0,000 000 031 943 819 264 × 2 = 0 + 0,000 000 063 887 638 528;
  • 29) 0,000 000 063 887 638 528 × 2 = 0 + 0,000 000 127 775 277 056;
  • 30) 0,000 000 127 775 277 056 × 2 = 0 + 0,000 000 255 550 554 112;
  • 31) 0,000 000 255 550 554 112 × 2 = 0 + 0,000 000 511 101 108 224;
  • 32) 0,000 000 511 101 108 224 × 2 = 0 + 0,000 001 022 202 216 448;
  • 33) 0,000 001 022 202 216 448 × 2 = 0 + 0,000 002 044 404 432 896;
  • 34) 0,000 002 044 404 432 896 × 2 = 0 + 0,000 004 088 808 865 792;
  • 35) 0,000 004 088 808 865 792 × 2 = 0 + 0,000 008 177 617 731 584;
  • 36) 0,000 008 177 617 731 584 × 2 = 0 + 0,000 016 355 235 463 168;
  • 37) 0,000 016 355 235 463 168 × 2 = 0 + 0,000 032 710 470 926 336;
  • 38) 0,000 032 710 470 926 336 × 2 = 0 + 0,000 065 420 941 852 672;
  • 39) 0,000 065 420 941 852 672 × 2 = 0 + 0,000 130 841 883 705 344;
  • 40) 0,000 130 841 883 705 344 × 2 = 0 + 0,000 261 683 767 410 688;
  • 41) 0,000 261 683 767 410 688 × 2 = 0 + 0,000 523 367 534 821 376;
  • 42) 0,000 523 367 534 821 376 × 2 = 0 + 0,001 046 735 069 642 752;
  • 43) 0,001 046 735 069 642 752 × 2 = 0 + 0,002 093 470 139 285 504;
  • 44) 0,002 093 470 139 285 504 × 2 = 0 + 0,004 186 940 278 571 008;
  • 45) 0,004 186 940 278 571 008 × 2 = 0 + 0,008 373 880 557 142 016;
  • 46) 0,008 373 880 557 142 016 × 2 = 0 + 0,016 747 761 114 284 032;
  • 47) 0,016 747 761 114 284 032 × 2 = 0 + 0,033 495 522 228 568 064;
  • 48) 0,033 495 522 228 568 064 × 2 = 0 + 0,066 991 044 457 136 128;
  • 49) 0,066 991 044 457 136 128 × 2 = 0 + 0,133 982 088 914 272 256;
  • 50) 0,133 982 088 914 272 256 × 2 = 0 + 0,267 964 177 828 544 512;
  • 51) 0,267 964 177 828 544 512 × 2 = 0 + 0,535 928 355 657 089 024;
  • 52) 0,535 928 355 657 089 024 × 2 = 1 + 0,071 856 711 314 178 048;
  • 53) 0,071 856 711 314 178 048 × 2 = 0 + 0,143 713 422 628 356 096;
  • 54) 0,143 713 422 628 356 096 × 2 = 0 + 0,287 426 845 256 712 192;
  • 55) 0,287 426 845 256 712 192 × 2 = 0 + 0,574 853 690 513 424 384;
  • 56) 0,574 853 690 513 424 384 × 2 = 1 + 0,149 707 381 026 848 768;
  • 57) 0,149 707 381 026 848 768 × 2 = 0 + 0,299 414 762 053 697 536;
  • 58) 0,299 414 762 053 697 536 × 2 = 0 + 0,598 829 524 107 395 072;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,016 738 891 601 562 738(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 00(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,016 738 891 601 562 738(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 00(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,016 738 891 601 562 738(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 00(2) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 00(2) × 20 =

1,0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0100(2) × 2-6


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0100 =

0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0100


Numărul zecimal -0,016 738 891 601 562 738 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1001 - 0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0100

Distribuie

» Scriere -0,016 738 891 601 562 699 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100