-0,016 738 891 601 562 758 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,016 738 891 601 562 758(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,016 738 891 601 562 758(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,016 738 891 601 562 758| = 0,016 738 891 601 562 758


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,016 738 891 601 562 758.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,016 738 891 601 562 758 × 2 = 0 + 0,033 477 783 203 125 516;
  • 2) 0,033 477 783 203 125 516 × 2 = 0 + 0,066 955 566 406 251 032;
  • 3) 0,066 955 566 406 251 032 × 2 = 0 + 0,133 911 132 812 502 064;
  • 4) 0,133 911 132 812 502 064 × 2 = 0 + 0,267 822 265 625 004 128;
  • 5) 0,267 822 265 625 004 128 × 2 = 0 + 0,535 644 531 250 008 256;
  • 6) 0,535 644 531 250 008 256 × 2 = 1 + 0,071 289 062 500 016 512;
  • 7) 0,071 289 062 500 016 512 × 2 = 0 + 0,142 578 125 000 033 024;
  • 8) 0,142 578 125 000 033 024 × 2 = 0 + 0,285 156 250 000 066 048;
  • 9) 0,285 156 250 000 066 048 × 2 = 0 + 0,570 312 500 000 132 096;
  • 10) 0,570 312 500 000 132 096 × 2 = 1 + 0,140 625 000 000 264 192;
  • 11) 0,140 625 000 000 264 192 × 2 = 0 + 0,281 250 000 000 528 384;
  • 12) 0,281 250 000 000 528 384 × 2 = 0 + 0,562 500 000 001 056 768;
  • 13) 0,562 500 000 001 056 768 × 2 = 1 + 0,125 000 000 002 113 536;
  • 14) 0,125 000 000 002 113 536 × 2 = 0 + 0,250 000 000 004 227 072;
  • 15) 0,250 000 000 004 227 072 × 2 = 0 + 0,500 000 000 008 454 144;
  • 16) 0,500 000 000 008 454 144 × 2 = 1 + 0,000 000 000 016 908 288;
  • 17) 0,000 000 000 016 908 288 × 2 = 0 + 0,000 000 000 033 816 576;
  • 18) 0,000 000 000 033 816 576 × 2 = 0 + 0,000 000 000 067 633 152;
  • 19) 0,000 000 000 067 633 152 × 2 = 0 + 0,000 000 000 135 266 304;
  • 20) 0,000 000 000 135 266 304 × 2 = 0 + 0,000 000 000 270 532 608;
  • 21) 0,000 000 000 270 532 608 × 2 = 0 + 0,000 000 000 541 065 216;
  • 22) 0,000 000 000 541 065 216 × 2 = 0 + 0,000 000 001 082 130 432;
  • 23) 0,000 000 001 082 130 432 × 2 = 0 + 0,000 000 002 164 260 864;
  • 24) 0,000 000 002 164 260 864 × 2 = 0 + 0,000 000 004 328 521 728;
  • 25) 0,000 000 004 328 521 728 × 2 = 0 + 0,000 000 008 657 043 456;
  • 26) 0,000 000 008 657 043 456 × 2 = 0 + 0,000 000 017 314 086 912;
  • 27) 0,000 000 017 314 086 912 × 2 = 0 + 0,000 000 034 628 173 824;
  • 28) 0,000 000 034 628 173 824 × 2 = 0 + 0,000 000 069 256 347 648;
  • 29) 0,000 000 069 256 347 648 × 2 = 0 + 0,000 000 138 512 695 296;
  • 30) 0,000 000 138 512 695 296 × 2 = 0 + 0,000 000 277 025 390 592;
  • 31) 0,000 000 277 025 390 592 × 2 = 0 + 0,000 000 554 050 781 184;
  • 32) 0,000 000 554 050 781 184 × 2 = 0 + 0,000 001 108 101 562 368;
  • 33) 0,000 001 108 101 562 368 × 2 = 0 + 0,000 002 216 203 124 736;
  • 34) 0,000 002 216 203 124 736 × 2 = 0 + 0,000 004 432 406 249 472;
  • 35) 0,000 004 432 406 249 472 × 2 = 0 + 0,000 008 864 812 498 944;
  • 36) 0,000 008 864 812 498 944 × 2 = 0 + 0,000 017 729 624 997 888;
  • 37) 0,000 017 729 624 997 888 × 2 = 0 + 0,000 035 459 249 995 776;
  • 38) 0,000 035 459 249 995 776 × 2 = 0 + 0,000 070 918 499 991 552;
  • 39) 0,000 070 918 499 991 552 × 2 = 0 + 0,000 141 836 999 983 104;
  • 40) 0,000 141 836 999 983 104 × 2 = 0 + 0,000 283 673 999 966 208;
  • 41) 0,000 283 673 999 966 208 × 2 = 0 + 0,000 567 347 999 932 416;
  • 42) 0,000 567 347 999 932 416 × 2 = 0 + 0,001 134 695 999 864 832;
  • 43) 0,001 134 695 999 864 832 × 2 = 0 + 0,002 269 391 999 729 664;
  • 44) 0,002 269 391 999 729 664 × 2 = 0 + 0,004 538 783 999 459 328;
  • 45) 0,004 538 783 999 459 328 × 2 = 0 + 0,009 077 567 998 918 656;
  • 46) 0,009 077 567 998 918 656 × 2 = 0 + 0,018 155 135 997 837 312;
  • 47) 0,018 155 135 997 837 312 × 2 = 0 + 0,036 310 271 995 674 624;
  • 48) 0,036 310 271 995 674 624 × 2 = 0 + 0,072 620 543 991 349 248;
  • 49) 0,072 620 543 991 349 248 × 2 = 0 + 0,145 241 087 982 698 496;
  • 50) 0,145 241 087 982 698 496 × 2 = 0 + 0,290 482 175 965 396 992;
  • 51) 0,290 482 175 965 396 992 × 2 = 0 + 0,580 964 351 930 793 984;
  • 52) 0,580 964 351 930 793 984 × 2 = 1 + 0,161 928 703 861 587 968;
  • 53) 0,161 928 703 861 587 968 × 2 = 0 + 0,323 857 407 723 175 936;
  • 54) 0,323 857 407 723 175 936 × 2 = 0 + 0,647 714 815 446 351 872;
  • 55) 0,647 714 815 446 351 872 × 2 = 1 + 0,295 429 630 892 703 744;
  • 56) 0,295 429 630 892 703 744 × 2 = 0 + 0,590 859 261 785 407 488;
  • 57) 0,590 859 261 785 407 488 × 2 = 1 + 0,181 718 523 570 814 976;
  • 58) 0,181 718 523 570 814 976 × 2 = 0 + 0,363 437 047 141 629 952;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,016 738 891 601 562 758(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0010 10(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,016 738 891 601 562 758(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0010 10(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,016 738 891 601 562 758(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0010 10(2) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0010 10(2) × 20 =

1,0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 1010(2) × 2-6


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 1010 =

0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 1010


Numărul zecimal -0,016 738 891 601 562 758 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1001 - 0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 1010

Distribuie

» Scriere -0,016 738 891 601 562 78 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100