-0,016 738 891 601 562 772 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,016 738 891 601 562 772(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,016 738 891 601 562 772(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,016 738 891 601 562 772| = 0,016 738 891 601 562 772


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,016 738 891 601 562 772.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,016 738 891 601 562 772 × 2 = 0 + 0,033 477 783 203 125 544;
  • 2) 0,033 477 783 203 125 544 × 2 = 0 + 0,066 955 566 406 251 088;
  • 3) 0,066 955 566 406 251 088 × 2 = 0 + 0,133 911 132 812 502 176;
  • 4) 0,133 911 132 812 502 176 × 2 = 0 + 0,267 822 265 625 004 352;
  • 5) 0,267 822 265 625 004 352 × 2 = 0 + 0,535 644 531 250 008 704;
  • 6) 0,535 644 531 250 008 704 × 2 = 1 + 0,071 289 062 500 017 408;
  • 7) 0,071 289 062 500 017 408 × 2 = 0 + 0,142 578 125 000 034 816;
  • 8) 0,142 578 125 000 034 816 × 2 = 0 + 0,285 156 250 000 069 632;
  • 9) 0,285 156 250 000 069 632 × 2 = 0 + 0,570 312 500 000 139 264;
  • 10) 0,570 312 500 000 139 264 × 2 = 1 + 0,140 625 000 000 278 528;
  • 11) 0,140 625 000 000 278 528 × 2 = 0 + 0,281 250 000 000 557 056;
  • 12) 0,281 250 000 000 557 056 × 2 = 0 + 0,562 500 000 001 114 112;
  • 13) 0,562 500 000 001 114 112 × 2 = 1 + 0,125 000 000 002 228 224;
  • 14) 0,125 000 000 002 228 224 × 2 = 0 + 0,250 000 000 004 456 448;
  • 15) 0,250 000 000 004 456 448 × 2 = 0 + 0,500 000 000 008 912 896;
  • 16) 0,500 000 000 008 912 896 × 2 = 1 + 0,000 000 000 017 825 792;
  • 17) 0,000 000 000 017 825 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 035 651 584;
  • 18) 0,000 000 000 035 651 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 071 303 168;
  • 19) 0,000 000 000 071 303 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 142 606 336;
  • 20) 0,000 000 000 142 606 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 285 212 672;
  • 21) 0,000 000 000 285 212 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 570 425 344;
  • 22) 0,000 000 000 570 425 344 × 2 = 0 + 0,000 000 001 140 850 688;
  • 23) 0,000 000 001 140 850 688 × 2 = 0 + 0,000 000 002 281 701 376;
  • 24) 0,000 000 002 281 701 376 × 2 = 0 + 0,000 000 004 563 402 752;
  • 25) 0,000 000 004 563 402 752 × 2 = 0 + 0,000 000 009 126 805 504;
  • 26) 0,000 000 009 126 805 504 × 2 = 0 + 0,000 000 018 253 611 008;
  • 27) 0,000 000 018 253 611 008 × 2 = 0 + 0,000 000 036 507 222 016;
  • 28) 0,000 000 036 507 222 016 × 2 = 0 + 0,000 000 073 014 444 032;
  • 29) 0,000 000 073 014 444 032 × 2 = 0 + 0,000 000 146 028 888 064;
  • 30) 0,000 000 146 028 888 064 × 2 = 0 + 0,000 000 292 057 776 128;
  • 31) 0,000 000 292 057 776 128 × 2 = 0 + 0,000 000 584 115 552 256;
  • 32) 0,000 000 584 115 552 256 × 2 = 0 + 0,000 001 168 231 104 512;
  • 33) 0,000 001 168 231 104 512 × 2 = 0 + 0,000 002 336 462 209 024;
  • 34) 0,000 002 336 462 209 024 × 2 = 0 + 0,000 004 672 924 418 048;
  • 35) 0,000 004 672 924 418 048 × 2 = 0 + 0,000 009 345 848 836 096;
  • 36) 0,000 009 345 848 836 096 × 2 = 0 + 0,000 018 691 697 672 192;
  • 37) 0,000 018 691 697 672 192 × 2 = 0 + 0,000 037 383 395 344 384;
  • 38) 0,000 037 383 395 344 384 × 2 = 0 + 0,000 074 766 790 688 768;
  • 39) 0,000 074 766 790 688 768 × 2 = 0 + 0,000 149 533 581 377 536;
  • 40) 0,000 149 533 581 377 536 × 2 = 0 + 0,000 299 067 162 755 072;
  • 41) 0,000 299 067 162 755 072 × 2 = 0 + 0,000 598 134 325 510 144;
  • 42) 0,000 598 134 325 510 144 × 2 = 0 + 0,001 196 268 651 020 288;
  • 43) 0,001 196 268 651 020 288 × 2 = 0 + 0,002 392 537 302 040 576;
  • 44) 0,002 392 537 302 040 576 × 2 = 0 + 0,004 785 074 604 081 152;
  • 45) 0,004 785 074 604 081 152 × 2 = 0 + 0,009 570 149 208 162 304;
  • 46) 0,009 570 149 208 162 304 × 2 = 0 + 0,019 140 298 416 324 608;
  • 47) 0,019 140 298 416 324 608 × 2 = 0 + 0,038 280 596 832 649 216;
  • 48) 0,038 280 596 832 649 216 × 2 = 0 + 0,076 561 193 665 298 432;
  • 49) 0,076 561 193 665 298 432 × 2 = 0 + 0,153 122 387 330 596 864;
  • 50) 0,153 122 387 330 596 864 × 2 = 0 + 0,306 244 774 661 193 728;
  • 51) 0,306 244 774 661 193 728 × 2 = 0 + 0,612 489 549 322 387 456;
  • 52) 0,612 489 549 322 387 456 × 2 = 1 + 0,224 979 098 644 774 912;
  • 53) 0,224 979 098 644 774 912 × 2 = 0 + 0,449 958 197 289 549 824;
  • 54) 0,449 958 197 289 549 824 × 2 = 0 + 0,899 916 394 579 099 648;
  • 55) 0,899 916 394 579 099 648 × 2 = 1 + 0,799 832 789 158 199 296;
  • 56) 0,799 832 789 158 199 296 × 2 = 1 + 0,599 665 578 316 398 592;
  • 57) 0,599 665 578 316 398 592 × 2 = 1 + 0,199 331 156 632 797 184;
  • 58) 0,199 331 156 632 797 184 × 2 = 0 + 0,398 662 313 265 594 368;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,016 738 891 601 562 772(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0011 10(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,016 738 891 601 562 772(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0011 10(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,016 738 891 601 562 772(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0011 10(2) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0011 10(2) × 20 =

1,0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 1110(2) × 2-6


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 1110 =

0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 1110


Numărul zecimal -0,016 738 891 601 562 772 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1001 - 0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 1110

Distribuie

» Scriere -0,016 738 891 601 562 831 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100