-0,016 738 891 601 562 807 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,016 738 891 601 562 807(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,016 738 891 601 562 807(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,016 738 891 601 562 807| = 0,016 738 891 601 562 807


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,016 738 891 601 562 807.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,016 738 891 601 562 807 × 2 = 0 + 0,033 477 783 203 125 614;
  • 2) 0,033 477 783 203 125 614 × 2 = 0 + 0,066 955 566 406 251 228;
  • 3) 0,066 955 566 406 251 228 × 2 = 0 + 0,133 911 132 812 502 456;
  • 4) 0,133 911 132 812 502 456 × 2 = 0 + 0,267 822 265 625 004 912;
  • 5) 0,267 822 265 625 004 912 × 2 = 0 + 0,535 644 531 250 009 824;
  • 6) 0,535 644 531 250 009 824 × 2 = 1 + 0,071 289 062 500 019 648;
  • 7) 0,071 289 062 500 019 648 × 2 = 0 + 0,142 578 125 000 039 296;
  • 8) 0,142 578 125 000 039 296 × 2 = 0 + 0,285 156 250 000 078 592;
  • 9) 0,285 156 250 000 078 592 × 2 = 0 + 0,570 312 500 000 157 184;
  • 10) 0,570 312 500 000 157 184 × 2 = 1 + 0,140 625 000 000 314 368;
  • 11) 0,140 625 000 000 314 368 × 2 = 0 + 0,281 250 000 000 628 736;
  • 12) 0,281 250 000 000 628 736 × 2 = 0 + 0,562 500 000 001 257 472;
  • 13) 0,562 500 000 001 257 472 × 2 = 1 + 0,125 000 000 002 514 944;
  • 14) 0,125 000 000 002 514 944 × 2 = 0 + 0,250 000 000 005 029 888;
  • 15) 0,250 000 000 005 029 888 × 2 = 0 + 0,500 000 000 010 059 776;
  • 16) 0,500 000 000 010 059 776 × 2 = 1 + 0,000 000 000 020 119 552;
  • 17) 0,000 000 000 020 119 552 × 2 = 0 + 0,000 000 000 040 239 104;
  • 18) 0,000 000 000 040 239 104 × 2 = 0 + 0,000 000 000 080 478 208;
  • 19) 0,000 000 000 080 478 208 × 2 = 0 + 0,000 000 000 160 956 416;
  • 20) 0,000 000 000 160 956 416 × 2 = 0 + 0,000 000 000 321 912 832;
  • 21) 0,000 000 000 321 912 832 × 2 = 0 + 0,000 000 000 643 825 664;
  • 22) 0,000 000 000 643 825 664 × 2 = 0 + 0,000 000 001 287 651 328;
  • 23) 0,000 000 001 287 651 328 × 2 = 0 + 0,000 000 002 575 302 656;
  • 24) 0,000 000 002 575 302 656 × 2 = 0 + 0,000 000 005 150 605 312;
  • 25) 0,000 000 005 150 605 312 × 2 = 0 + 0,000 000 010 301 210 624;
  • 26) 0,000 000 010 301 210 624 × 2 = 0 + 0,000 000 020 602 421 248;
  • 27) 0,000 000 020 602 421 248 × 2 = 0 + 0,000 000 041 204 842 496;
  • 28) 0,000 000 041 204 842 496 × 2 = 0 + 0,000 000 082 409 684 992;
  • 29) 0,000 000 082 409 684 992 × 2 = 0 + 0,000 000 164 819 369 984;
  • 30) 0,000 000 164 819 369 984 × 2 = 0 + 0,000 000 329 638 739 968;
  • 31) 0,000 000 329 638 739 968 × 2 = 0 + 0,000 000 659 277 479 936;
  • 32) 0,000 000 659 277 479 936 × 2 = 0 + 0,000 001 318 554 959 872;
  • 33) 0,000 001 318 554 959 872 × 2 = 0 + 0,000 002 637 109 919 744;
  • 34) 0,000 002 637 109 919 744 × 2 = 0 + 0,000 005 274 219 839 488;
  • 35) 0,000 005 274 219 839 488 × 2 = 0 + 0,000 010 548 439 678 976;
  • 36) 0,000 010 548 439 678 976 × 2 = 0 + 0,000 021 096 879 357 952;
  • 37) 0,000 021 096 879 357 952 × 2 = 0 + 0,000 042 193 758 715 904;
  • 38) 0,000 042 193 758 715 904 × 2 = 0 + 0,000 084 387 517 431 808;
  • 39) 0,000 084 387 517 431 808 × 2 = 0 + 0,000 168 775 034 863 616;
  • 40) 0,000 168 775 034 863 616 × 2 = 0 + 0,000 337 550 069 727 232;
  • 41) 0,000 337 550 069 727 232 × 2 = 0 + 0,000 675 100 139 454 464;
  • 42) 0,000 675 100 139 454 464 × 2 = 0 + 0,001 350 200 278 908 928;
  • 43) 0,001 350 200 278 908 928 × 2 = 0 + 0,002 700 400 557 817 856;
  • 44) 0,002 700 400 557 817 856 × 2 = 0 + 0,005 400 801 115 635 712;
  • 45) 0,005 400 801 115 635 712 × 2 = 0 + 0,010 801 602 231 271 424;
  • 46) 0,010 801 602 231 271 424 × 2 = 0 + 0,021 603 204 462 542 848;
  • 47) 0,021 603 204 462 542 848 × 2 = 0 + 0,043 206 408 925 085 696;
  • 48) 0,043 206 408 925 085 696 × 2 = 0 + 0,086 412 817 850 171 392;
  • 49) 0,086 412 817 850 171 392 × 2 = 0 + 0,172 825 635 700 342 784;
  • 50) 0,172 825 635 700 342 784 × 2 = 0 + 0,345 651 271 400 685 568;
  • 51) 0,345 651 271 400 685 568 × 2 = 0 + 0,691 302 542 801 371 136;
  • 52) 0,691 302 542 801 371 136 × 2 = 1 + 0,382 605 085 602 742 272;
  • 53) 0,382 605 085 602 742 272 × 2 = 0 + 0,765 210 171 205 484 544;
  • 54) 0,765 210 171 205 484 544 × 2 = 1 + 0,530 420 342 410 969 088;
  • 55) 0,530 420 342 410 969 088 × 2 = 1 + 0,060 840 684 821 938 176;
  • 56) 0,060 840 684 821 938 176 × 2 = 0 + 0,121 681 369 643 876 352;
  • 57) 0,121 681 369 643 876 352 × 2 = 0 + 0,243 362 739 287 752 704;
  • 58) 0,243 362 739 287 752 704 × 2 = 0 + 0,486 725 478 575 505 408;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,016 738 891 601 562 807(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0110 00(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,016 738 891 601 562 807(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0110 00(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,016 738 891 601 562 807(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0110 00(2) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0110 00(2) × 20 =

1,0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101 1000(2) × 2-6


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101 1000 =

0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101 1000


Numărul zecimal -0,016 738 891 601 562 807 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1001 - 0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101 1000

Distribuie

» Scriere -0,016 738 891 601 562 798 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100