-0,016 738 891 601 562 874 700 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,016 738 891 601 562 874 700 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,016 738 891 601 562 874 700 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,016 738 891 601 562 874 700 5| = 0,016 738 891 601 562 874 700 5


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,016 738 891 601 562 874 700 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,016 738 891 601 562 874 700 5 × 2 = 0 + 0,033 477 783 203 125 749 401;
  • 2) 0,033 477 783 203 125 749 401 × 2 = 0 + 0,066 955 566 406 251 498 802;
  • 3) 0,066 955 566 406 251 498 802 × 2 = 0 + 0,133 911 132 812 502 997 604;
  • 4) 0,133 911 132 812 502 997 604 × 2 = 0 + 0,267 822 265 625 005 995 208;
  • 5) 0,267 822 265 625 005 995 208 × 2 = 0 + 0,535 644 531 250 011 990 416;
  • 6) 0,535 644 531 250 011 990 416 × 2 = 1 + 0,071 289 062 500 023 980 832;
  • 7) 0,071 289 062 500 023 980 832 × 2 = 0 + 0,142 578 125 000 047 961 664;
  • 8) 0,142 578 125 000 047 961 664 × 2 = 0 + 0,285 156 250 000 095 923 328;
  • 9) 0,285 156 250 000 095 923 328 × 2 = 0 + 0,570 312 500 000 191 846 656;
  • 10) 0,570 312 500 000 191 846 656 × 2 = 1 + 0,140 625 000 000 383 693 312;
  • 11) 0,140 625 000 000 383 693 312 × 2 = 0 + 0,281 250 000 000 767 386 624;
  • 12) 0,281 250 000 000 767 386 624 × 2 = 0 + 0,562 500 000 001 534 773 248;
  • 13) 0,562 500 000 001 534 773 248 × 2 = 1 + 0,125 000 000 003 069 546 496;
  • 14) 0,125 000 000 003 069 546 496 × 2 = 0 + 0,250 000 000 006 139 092 992;
  • 15) 0,250 000 000 006 139 092 992 × 2 = 0 + 0,500 000 000 012 278 185 984;
  • 16) 0,500 000 000 012 278 185 984 × 2 = 1 + 0,000 000 000 024 556 371 968;
  • 17) 0,000 000 000 024 556 371 968 × 2 = 0 + 0,000 000 000 049 112 743 936;
  • 18) 0,000 000 000 049 112 743 936 × 2 = 0 + 0,000 000 000 098 225 487 872;
  • 19) 0,000 000 000 098 225 487 872 × 2 = 0 + 0,000 000 000 196 450 975 744;
  • 20) 0,000 000 000 196 450 975 744 × 2 = 0 + 0,000 000 000 392 901 951 488;
  • 21) 0,000 000 000 392 901 951 488 × 2 = 0 + 0,000 000 000 785 803 902 976;
  • 22) 0,000 000 000 785 803 902 976 × 2 = 0 + 0,000 000 001 571 607 805 952;
  • 23) 0,000 000 001 571 607 805 952 × 2 = 0 + 0,000 000 003 143 215 611 904;
  • 24) 0,000 000 003 143 215 611 904 × 2 = 0 + 0,000 000 006 286 431 223 808;
  • 25) 0,000 000 006 286 431 223 808 × 2 = 0 + 0,000 000 012 572 862 447 616;
  • 26) 0,000 000 012 572 862 447 616 × 2 = 0 + 0,000 000 025 145 724 895 232;
  • 27) 0,000 000 025 145 724 895 232 × 2 = 0 + 0,000 000 050 291 449 790 464;
  • 28) 0,000 000 050 291 449 790 464 × 2 = 0 + 0,000 000 100 582 899 580 928;
  • 29) 0,000 000 100 582 899 580 928 × 2 = 0 + 0,000 000 201 165 799 161 856;
  • 30) 0,000 000 201 165 799 161 856 × 2 = 0 + 0,000 000 402 331 598 323 712;
  • 31) 0,000 000 402 331 598 323 712 × 2 = 0 + 0,000 000 804 663 196 647 424;
  • 32) 0,000 000 804 663 196 647 424 × 2 = 0 + 0,000 001 609 326 393 294 848;
  • 33) 0,000 001 609 326 393 294 848 × 2 = 0 + 0,000 003 218 652 786 589 696;
  • 34) 0,000 003 218 652 786 589 696 × 2 = 0 + 0,000 006 437 305 573 179 392;
  • 35) 0,000 006 437 305 573 179 392 × 2 = 0 + 0,000 012 874 611 146 358 784;
  • 36) 0,000 012 874 611 146 358 784 × 2 = 0 + 0,000 025 749 222 292 717 568;
  • 37) 0,000 025 749 222 292 717 568 × 2 = 0 + 0,000 051 498 444 585 435 136;
  • 38) 0,000 051 498 444 585 435 136 × 2 = 0 + 0,000 102 996 889 170 870 272;
  • 39) 0,000 102 996 889 170 870 272 × 2 = 0 + 0,000 205 993 778 341 740 544;
  • 40) 0,000 205 993 778 341 740 544 × 2 = 0 + 0,000 411 987 556 683 481 088;
  • 41) 0,000 411 987 556 683 481 088 × 2 = 0 + 0,000 823 975 113 366 962 176;
  • 42) 0,000 823 975 113 366 962 176 × 2 = 0 + 0,001 647 950 226 733 924 352;
  • 43) 0,001 647 950 226 733 924 352 × 2 = 0 + 0,003 295 900 453 467 848 704;
  • 44) 0,003 295 900 453 467 848 704 × 2 = 0 + 0,006 591 800 906 935 697 408;
  • 45) 0,006 591 800 906 935 697 408 × 2 = 0 + 0,013 183 601 813 871 394 816;
  • 46) 0,013 183 601 813 871 394 816 × 2 = 0 + 0,026 367 203 627 742 789 632;
  • 47) 0,026 367 203 627 742 789 632 × 2 = 0 + 0,052 734 407 255 485 579 264;
  • 48) 0,052 734 407 255 485 579 264 × 2 = 0 + 0,105 468 814 510 971 158 528;
  • 49) 0,105 468 814 510 971 158 528 × 2 = 0 + 0,210 937 629 021 942 317 056;
  • 50) 0,210 937 629 021 942 317 056 × 2 = 0 + 0,421 875 258 043 884 634 112;
  • 51) 0,421 875 258 043 884 634 112 × 2 = 0 + 0,843 750 516 087 769 268 224;
  • 52) 0,843 750 516 087 769 268 224 × 2 = 1 + 0,687 501 032 175 538 536 448;
  • 53) 0,687 501 032 175 538 536 448 × 2 = 1 + 0,375 002 064 351 077 072 896;
  • 54) 0,375 002 064 351 077 072 896 × 2 = 0 + 0,750 004 128 702 154 145 792;
  • 55) 0,750 004 128 702 154 145 792 × 2 = 1 + 0,500 008 257 404 308 291 584;
  • 56) 0,500 008 257 404 308 291 584 × 2 = 1 + 0,000 016 514 808 616 583 168;
  • 57) 0,000 016 514 808 616 583 168 × 2 = 0 + 0,000 033 029 617 233 166 336;
  • 58) 0,000 033 029 617 233 166 336 × 2 = 0 + 0,000 066 059 234 466 332 672;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,016 738 891 601 562 874 700 5(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 1011 00(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,016 738 891 601 562 874 700 5(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 1011 00(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,016 738 891 601 562 874 700 5(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 1011 00(2) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 1011 00(2) × 20 =

1,0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110 1100(2) × 2-6


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110 1100 =

0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110 1100


Numărul zecimal -0,016 738 891 601 562 874 700 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1001 - 0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110 1100

Distribuie

» Scriere -0,016 738 891 601 562 874 71 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100