-0,016 738 891 601 563 041 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,016 738 891 601 563 041(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,016 738 891 601 563 041(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,016 738 891 601 563 041| = 0,016 738 891 601 563 041


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,016 738 891 601 563 041.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,016 738 891 601 563 041 × 2 = 0 + 0,033 477 783 203 126 082;
  • 2) 0,033 477 783 203 126 082 × 2 = 0 + 0,066 955 566 406 252 164;
  • 3) 0,066 955 566 406 252 164 × 2 = 0 + 0,133 911 132 812 504 328;
  • 4) 0,133 911 132 812 504 328 × 2 = 0 + 0,267 822 265 625 008 656;
  • 5) 0,267 822 265 625 008 656 × 2 = 0 + 0,535 644 531 250 017 312;
  • 6) 0,535 644 531 250 017 312 × 2 = 1 + 0,071 289 062 500 034 624;
  • 7) 0,071 289 062 500 034 624 × 2 = 0 + 0,142 578 125 000 069 248;
  • 8) 0,142 578 125 000 069 248 × 2 = 0 + 0,285 156 250 000 138 496;
  • 9) 0,285 156 250 000 138 496 × 2 = 0 + 0,570 312 500 000 276 992;
  • 10) 0,570 312 500 000 276 992 × 2 = 1 + 0,140 625 000 000 553 984;
  • 11) 0,140 625 000 000 553 984 × 2 = 0 + 0,281 250 000 001 107 968;
  • 12) 0,281 250 000 001 107 968 × 2 = 0 + 0,562 500 000 002 215 936;
  • 13) 0,562 500 000 002 215 936 × 2 = 1 + 0,125 000 000 004 431 872;
  • 14) 0,125 000 000 004 431 872 × 2 = 0 + 0,250 000 000 008 863 744;
  • 15) 0,250 000 000 008 863 744 × 2 = 0 + 0,500 000 000 017 727 488;
  • 16) 0,500 000 000 017 727 488 × 2 = 1 + 0,000 000 000 035 454 976;
  • 17) 0,000 000 000 035 454 976 × 2 = 0 + 0,000 000 000 070 909 952;
  • 18) 0,000 000 000 070 909 952 × 2 = 0 + 0,000 000 000 141 819 904;
  • 19) 0,000 000 000 141 819 904 × 2 = 0 + 0,000 000 000 283 639 808;
  • 20) 0,000 000 000 283 639 808 × 2 = 0 + 0,000 000 000 567 279 616;
  • 21) 0,000 000 000 567 279 616 × 2 = 0 + 0,000 000 001 134 559 232;
  • 22) 0,000 000 001 134 559 232 × 2 = 0 + 0,000 000 002 269 118 464;
  • 23) 0,000 000 002 269 118 464 × 2 = 0 + 0,000 000 004 538 236 928;
  • 24) 0,000 000 004 538 236 928 × 2 = 0 + 0,000 000 009 076 473 856;
  • 25) 0,000 000 009 076 473 856 × 2 = 0 + 0,000 000 018 152 947 712;
  • 26) 0,000 000 018 152 947 712 × 2 = 0 + 0,000 000 036 305 895 424;
  • 27) 0,000 000 036 305 895 424 × 2 = 0 + 0,000 000 072 611 790 848;
  • 28) 0,000 000 072 611 790 848 × 2 = 0 + 0,000 000 145 223 581 696;
  • 29) 0,000 000 145 223 581 696 × 2 = 0 + 0,000 000 290 447 163 392;
  • 30) 0,000 000 290 447 163 392 × 2 = 0 + 0,000 000 580 894 326 784;
  • 31) 0,000 000 580 894 326 784 × 2 = 0 + 0,000 001 161 788 653 568;
  • 32) 0,000 001 161 788 653 568 × 2 = 0 + 0,000 002 323 577 307 136;
  • 33) 0,000 002 323 577 307 136 × 2 = 0 + 0,000 004 647 154 614 272;
  • 34) 0,000 004 647 154 614 272 × 2 = 0 + 0,000 009 294 309 228 544;
  • 35) 0,000 009 294 309 228 544 × 2 = 0 + 0,000 018 588 618 457 088;
  • 36) 0,000 018 588 618 457 088 × 2 = 0 + 0,000 037 177 236 914 176;
  • 37) 0,000 037 177 236 914 176 × 2 = 0 + 0,000 074 354 473 828 352;
  • 38) 0,000 074 354 473 828 352 × 2 = 0 + 0,000 148 708 947 656 704;
  • 39) 0,000 148 708 947 656 704 × 2 = 0 + 0,000 297 417 895 313 408;
  • 40) 0,000 297 417 895 313 408 × 2 = 0 + 0,000 594 835 790 626 816;
  • 41) 0,000 594 835 790 626 816 × 2 = 0 + 0,001 189 671 581 253 632;
  • 42) 0,001 189 671 581 253 632 × 2 = 0 + 0,002 379 343 162 507 264;
  • 43) 0,002 379 343 162 507 264 × 2 = 0 + 0,004 758 686 325 014 528;
  • 44) 0,004 758 686 325 014 528 × 2 = 0 + 0,009 517 372 650 029 056;
  • 45) 0,009 517 372 650 029 056 × 2 = 0 + 0,019 034 745 300 058 112;
  • 46) 0,019 034 745 300 058 112 × 2 = 0 + 0,038 069 490 600 116 224;
  • 47) 0,038 069 490 600 116 224 × 2 = 0 + 0,076 138 981 200 232 448;
  • 48) 0,076 138 981 200 232 448 × 2 = 0 + 0,152 277 962 400 464 896;
  • 49) 0,152 277 962 400 464 896 × 2 = 0 + 0,304 555 924 800 929 792;
  • 50) 0,304 555 924 800 929 792 × 2 = 0 + 0,609 111 849 601 859 584;
  • 51) 0,609 111 849 601 859 584 × 2 = 1 + 0,218 223 699 203 719 168;
  • 52) 0,218 223 699 203 719 168 × 2 = 0 + 0,436 447 398 407 438 336;
  • 53) 0,436 447 398 407 438 336 × 2 = 0 + 0,872 894 796 814 876 672;
  • 54) 0,872 894 796 814 876 672 × 2 = 1 + 0,745 789 593 629 753 344;
  • 55) 0,745 789 593 629 753 344 × 2 = 1 + 0,491 579 187 259 506 688;
  • 56) 0,491 579 187 259 506 688 × 2 = 0 + 0,983 158 374 519 013 376;
  • 57) 0,983 158 374 519 013 376 × 2 = 1 + 0,966 316 749 038 026 752;
  • 58) 0,966 316 749 038 026 752 × 2 = 1 + 0,932 633 498 076 053 504;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,016 738 891 601 563 041(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0110 11(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,016 738 891 601 563 041(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0110 11(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,016 738 891 601 563 041(10) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0110 11(2) =

0,0000 0100 0100 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0110 11(2) × 20 =

1,0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 1011(2) × 2-6


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 1011 =

0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 1011


Numărul zecimal -0,016 738 891 601 563 041 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1001 - 0001 0010 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 1011

» Scriere -0,016 738 891 601 562 959 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 11, 2026 [Noiembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Noiembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100