-0,019 834 293 390 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,019 834 293 390 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,019 834 293 390 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,019 834 293 390 4| = 0,019 834 293 390 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,019 834 293 390 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,019 834 293 390 4 × 2 = 0 + 0,039 668 586 780 8;
  • 2) 0,039 668 586 780 8 × 2 = 0 + 0,079 337 173 561 6;
  • 3) 0,079 337 173 561 6 × 2 = 0 + 0,158 674 347 123 2;
  • 4) 0,158 674 347 123 2 × 2 = 0 + 0,317 348 694 246 4;
  • 5) 0,317 348 694 246 4 × 2 = 0 + 0,634 697 388 492 8;
  • 6) 0,634 697 388 492 8 × 2 = 1 + 0,269 394 776 985 6;
  • 7) 0,269 394 776 985 6 × 2 = 0 + 0,538 789 553 971 2;
  • 8) 0,538 789 553 971 2 × 2 = 1 + 0,077 579 107 942 4;
  • 9) 0,077 579 107 942 4 × 2 = 0 + 0,155 158 215 884 8;
  • 10) 0,155 158 215 884 8 × 2 = 0 + 0,310 316 431 769 6;
  • 11) 0,310 316 431 769 6 × 2 = 0 + 0,620 632 863 539 2;
  • 12) 0,620 632 863 539 2 × 2 = 1 + 0,241 265 727 078 4;
  • 13) 0,241 265 727 078 4 × 2 = 0 + 0,482 531 454 156 8;
  • 14) 0,482 531 454 156 8 × 2 = 0 + 0,965 062 908 313 6;
  • 15) 0,965 062 908 313 6 × 2 = 1 + 0,930 125 816 627 2;
  • 16) 0,930 125 816 627 2 × 2 = 1 + 0,860 251 633 254 4;
  • 17) 0,860 251 633 254 4 × 2 = 1 + 0,720 503 266 508 8;
  • 18) 0,720 503 266 508 8 × 2 = 1 + 0,441 006 533 017 6;
  • 19) 0,441 006 533 017 6 × 2 = 0 + 0,882 013 066 035 2;
  • 20) 0,882 013 066 035 2 × 2 = 1 + 0,764 026 132 070 4;
  • 21) 0,764 026 132 070 4 × 2 = 1 + 0,528 052 264 140 8;
  • 22) 0,528 052 264 140 8 × 2 = 1 + 0,056 104 528 281 6;
  • 23) 0,056 104 528 281 6 × 2 = 0 + 0,112 209 056 563 2;
  • 24) 0,112 209 056 563 2 × 2 = 0 + 0,224 418 113 126 4;
  • 25) 0,224 418 113 126 4 × 2 = 0 + 0,448 836 226 252 8;
  • 26) 0,448 836 226 252 8 × 2 = 0 + 0,897 672 452 505 6;
  • 27) 0,897 672 452 505 6 × 2 = 1 + 0,795 344 905 011 2;
  • 28) 0,795 344 905 011 2 × 2 = 1 + 0,590 689 810 022 4;
  • 29) 0,590 689 810 022 4 × 2 = 1 + 0,181 379 620 044 8;
  • 30) 0,181 379 620 044 8 × 2 = 0 + 0,362 759 240 089 6;
  • 31) 0,362 759 240 089 6 × 2 = 0 + 0,725 518 480 179 2;
  • 32) 0,725 518 480 179 2 × 2 = 1 + 0,451 036 960 358 4;
  • 33) 0,451 036 960 358 4 × 2 = 0 + 0,902 073 920 716 8;
  • 34) 0,902 073 920 716 8 × 2 = 1 + 0,804 147 841 433 6;
  • 35) 0,804 147 841 433 6 × 2 = 1 + 0,608 295 682 867 2;
  • 36) 0,608 295 682 867 2 × 2 = 1 + 0,216 591 365 734 4;
  • 37) 0,216 591 365 734 4 × 2 = 0 + 0,433 182 731 468 8;
  • 38) 0,433 182 731 468 8 × 2 = 0 + 0,866 365 462 937 6;
  • 39) 0,866 365 462 937 6 × 2 = 1 + 0,732 730 925 875 2;
  • 40) 0,732 730 925 875 2 × 2 = 1 + 0,465 461 851 750 4;
  • 41) 0,465 461 851 750 4 × 2 = 0 + 0,930 923 703 500 8;
  • 42) 0,930 923 703 500 8 × 2 = 1 + 0,861 847 407 001 6;
  • 43) 0,861 847 407 001 6 × 2 = 1 + 0,723 694 814 003 2;
  • 44) 0,723 694 814 003 2 × 2 = 1 + 0,447 389 628 006 4;
  • 45) 0,447 389 628 006 4 × 2 = 0 + 0,894 779 256 012 8;
  • 46) 0,894 779 256 012 8 × 2 = 1 + 0,789 558 512 025 6;
  • 47) 0,789 558 512 025 6 × 2 = 1 + 0,579 117 024 051 2;
  • 48) 0,579 117 024 051 2 × 2 = 1 + 0,158 234 048 102 4;
  • 49) 0,158 234 048 102 4 × 2 = 0 + 0,316 468 096 204 8;
  • 50) 0,316 468 096 204 8 × 2 = 0 + 0,632 936 192 409 6;
  • 51) 0,632 936 192 409 6 × 2 = 1 + 0,265 872 384 819 2;
  • 52) 0,265 872 384 819 2 × 2 = 0 + 0,531 744 769 638 4;
  • 53) 0,531 744 769 638 4 × 2 = 1 + 0,063 489 539 276 8;
  • 54) 0,063 489 539 276 8 × 2 = 0 + 0,126 979 078 553 6;
  • 55) 0,126 979 078 553 6 × 2 = 0 + 0,253 958 157 107 2;
  • 56) 0,253 958 157 107 2 × 2 = 0 + 0,507 916 314 214 4;
  • 57) 0,507 916 314 214 4 × 2 = 1 + 0,015 832 628 428 8;
  • 58) 0,015 832 628 428 8 × 2 = 0 + 0,031 665 256 857 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,019 834 293 390 4(10) =

0,0000 0101 0001 0011 1101 1100 0011 1001 0111 0011 0111 0111 0010 1000 10(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,019 834 293 390 4(10) =

0,0000 0101 0001 0011 1101 1100 0011 1001 0111 0011 0111 0111 0010 1000 10(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,019 834 293 390 4(10) =

0,0000 0101 0001 0011 1101 1100 0011 1001 0111 0011 0111 0111 0010 1000 10(2) =

0,0000 0101 0001 0011 1101 1100 0011 1001 0111 0011 0111 0111 0010 1000 10(2) × 20 =

1,0100 0100 1111 0111 0000 1110 0101 1100 1101 1101 1100 1010 0010(2) × 2-6


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0100 1111 0111 0000 1110 0101 1100 1101 1101 1100 1010 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0100 1111 0111 0000 1110 0101 1100 1101 1101 1100 1010 0010 =

0100 0100 1111 0111 0000 1110 0101 1100 1101 1101 1100 1010 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0100 0100 1111 0111 0000 1110 0101 1100 1101 1101 1100 1010 0010


Numărul zecimal -0,019 834 293 390 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1001 - 0100 0100 1111 0111 0000 1110 0101 1100 1101 1101 1100 1010 0010

Distribuie

» Scriere -0,019 834 293 393 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100