-0,033 343 988 072 21 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,033 343 988 072 21(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,033 343 988 072 21(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,033 343 988 072 21| = 0,033 343 988 072 21


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,033 343 988 072 21.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,033 343 988 072 21 × 2 = 0 + 0,066 687 976 144 42;
  • 2) 0,066 687 976 144 42 × 2 = 0 + 0,133 375 952 288 84;
  • 3) 0,133 375 952 288 84 × 2 = 0 + 0,266 751 904 577 68;
  • 4) 0,266 751 904 577 68 × 2 = 0 + 0,533 503 809 155 36;
  • 5) 0,533 503 809 155 36 × 2 = 1 + 0,067 007 618 310 72;
  • 6) 0,067 007 618 310 72 × 2 = 0 + 0,134 015 236 621 44;
  • 7) 0,134 015 236 621 44 × 2 = 0 + 0,268 030 473 242 88;
  • 8) 0,268 030 473 242 88 × 2 = 0 + 0,536 060 946 485 76;
  • 9) 0,536 060 946 485 76 × 2 = 1 + 0,072 121 892 971 52;
  • 10) 0,072 121 892 971 52 × 2 = 0 + 0,144 243 785 943 04;
  • 11) 0,144 243 785 943 04 × 2 = 0 + 0,288 487 571 886 08;
  • 12) 0,288 487 571 886 08 × 2 = 0 + 0,576 975 143 772 16;
  • 13) 0,576 975 143 772 16 × 2 = 1 + 0,153 950 287 544 32;
  • 14) 0,153 950 287 544 32 × 2 = 0 + 0,307 900 575 088 64;
  • 15) 0,307 900 575 088 64 × 2 = 0 + 0,615 801 150 177 28;
  • 16) 0,615 801 150 177 28 × 2 = 1 + 0,231 602 300 354 56;
  • 17) 0,231 602 300 354 56 × 2 = 0 + 0,463 204 600 709 12;
  • 18) 0,463 204 600 709 12 × 2 = 0 + 0,926 409 201 418 24;
  • 19) 0,926 409 201 418 24 × 2 = 1 + 0,852 818 402 836 48;
  • 20) 0,852 818 402 836 48 × 2 = 1 + 0,705 636 805 672 96;
  • 21) 0,705 636 805 672 96 × 2 = 1 + 0,411 273 611 345 92;
  • 22) 0,411 273 611 345 92 × 2 = 0 + 0,822 547 222 691 84;
  • 23) 0,822 547 222 691 84 × 2 = 1 + 0,645 094 445 383 68;
  • 24) 0,645 094 445 383 68 × 2 = 1 + 0,290 188 890 767 36;
  • 25) 0,290 188 890 767 36 × 2 = 0 + 0,580 377 781 534 72;
  • 26) 0,580 377 781 534 72 × 2 = 1 + 0,160 755 563 069 44;
  • 27) 0,160 755 563 069 44 × 2 = 0 + 0,321 511 126 138 88;
  • 28) 0,321 511 126 138 88 × 2 = 0 + 0,643 022 252 277 76;
  • 29) 0,643 022 252 277 76 × 2 = 1 + 0,286 044 504 555 52;
  • 30) 0,286 044 504 555 52 × 2 = 0 + 0,572 089 009 111 04;
  • 31) 0,572 089 009 111 04 × 2 = 1 + 0,144 178 018 222 08;
  • 32) 0,144 178 018 222 08 × 2 = 0 + 0,288 356 036 444 16;
  • 33) 0,288 356 036 444 16 × 2 = 0 + 0,576 712 072 888 32;
  • 34) 0,576 712 072 888 32 × 2 = 1 + 0,153 424 145 776 64;
  • 35) 0,153 424 145 776 64 × 2 = 0 + 0,306 848 291 553 28;
  • 36) 0,306 848 291 553 28 × 2 = 0 + 0,613 696 583 106 56;
  • 37) 0,613 696 583 106 56 × 2 = 1 + 0,227 393 166 213 12;
  • 38) 0,227 393 166 213 12 × 2 = 0 + 0,454 786 332 426 24;
  • 39) 0,454 786 332 426 24 × 2 = 0 + 0,909 572 664 852 48;
  • 40) 0,909 572 664 852 48 × 2 = 1 + 0,819 145 329 704 96;
  • 41) 0,819 145 329 704 96 × 2 = 1 + 0,638 290 659 409 92;
  • 42) 0,638 290 659 409 92 × 2 = 1 + 0,276 581 318 819 84;
  • 43) 0,276 581 318 819 84 × 2 = 0 + 0,553 162 637 639 68;
  • 44) 0,553 162 637 639 68 × 2 = 1 + 0,106 325 275 279 36;
  • 45) 0,106 325 275 279 36 × 2 = 0 + 0,212 650 550 558 72;
  • 46) 0,212 650 550 558 72 × 2 = 0 + 0,425 301 101 117 44;
  • 47) 0,425 301 101 117 44 × 2 = 0 + 0,850 602 202 234 88;
  • 48) 0,850 602 202 234 88 × 2 = 1 + 0,701 204 404 469 76;
  • 49) 0,701 204 404 469 76 × 2 = 1 + 0,402 408 808 939 52;
  • 50) 0,402 408 808 939 52 × 2 = 0 + 0,804 817 617 879 04;
  • 51) 0,804 817 617 879 04 × 2 = 1 + 0,609 635 235 758 08;
  • 52) 0,609 635 235 758 08 × 2 = 1 + 0,219 270 471 516 16;
  • 53) 0,219 270 471 516 16 × 2 = 0 + 0,438 540 943 032 32;
  • 54) 0,438 540 943 032 32 × 2 = 0 + 0,877 081 886 064 64;
  • 55) 0,877 081 886 064 64 × 2 = 1 + 0,754 163 772 129 28;
  • 56) 0,754 163 772 129 28 × 2 = 1 + 0,508 327 544 258 56;
  • 57) 0,508 327 544 258 56 × 2 = 1 + 0,016 655 088 517 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,033 343 988 072 21(10) =

0,0000 1000 1000 1001 0011 1011 0100 1010 0100 1001 1101 0001 1011 0011 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,033 343 988 072 21(10) =

0,0000 1000 1000 1001 0011 1011 0100 1010 0100 1001 1101 0001 1011 0011 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,033 343 988 072 21(10) =

0,0000 1000 1000 1001 0011 1011 0100 1010 0100 1001 1101 0001 1011 0011 1(2) =

0,0000 1000 1000 1001 0011 1011 0100 1010 0100 1001 1101 0001 1011 0011 1(2) × 20 =

1,0001 0001 0010 0111 0110 1001 0100 1001 0011 1010 0011 0110 0111(2) × 2-5


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -5

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0001 0010 0111 0110 1001 0100 1001 0011 1010 0011 0110 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-5 + 2(11-1) - 1 =

(-5 + 1 023)(10) =

1 018(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 018 : 2 = 509 + 0;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1018(10) =

011 1111 1010(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0001 0010 0111 0110 1001 0100 1001 0011 1010 0011 0110 0111 =

0001 0001 0010 0111 0110 1001 0100 1001 0011 1010 0011 0110 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1010

Mantisă (52 biți) =
0001 0001 0010 0111 0110 1001 0100 1001 0011 1010 0011 0110 0111


Numărul zecimal -0,033 343 988 072 21 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1010 - 0001 0001 0010 0111 0110 1001 0100 1001 0011 1010 0011 0110 0111

» Scriere -0,033 343 988 071 71 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100