-0,033 343 988 072 525 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,033 343 988 072 525(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,033 343 988 072 525(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,033 343 988 072 525| = 0,033 343 988 072 525


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,033 343 988 072 525.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,033 343 988 072 525 × 2 = 0 + 0,066 687 976 145 05;
  • 2) 0,066 687 976 145 05 × 2 = 0 + 0,133 375 952 290 1;
  • 3) 0,133 375 952 290 1 × 2 = 0 + 0,266 751 904 580 2;
  • 4) 0,266 751 904 580 2 × 2 = 0 + 0,533 503 809 160 4;
  • 5) 0,533 503 809 160 4 × 2 = 1 + 0,067 007 618 320 8;
  • 6) 0,067 007 618 320 8 × 2 = 0 + 0,134 015 236 641 6;
  • 7) 0,134 015 236 641 6 × 2 = 0 + 0,268 030 473 283 2;
  • 8) 0,268 030 473 283 2 × 2 = 0 + 0,536 060 946 566 4;
  • 9) 0,536 060 946 566 4 × 2 = 1 + 0,072 121 893 132 8;
  • 10) 0,072 121 893 132 8 × 2 = 0 + 0,144 243 786 265 6;
  • 11) 0,144 243 786 265 6 × 2 = 0 + 0,288 487 572 531 2;
  • 12) 0,288 487 572 531 2 × 2 = 0 + 0,576 975 145 062 4;
  • 13) 0,576 975 145 062 4 × 2 = 1 + 0,153 950 290 124 8;
  • 14) 0,153 950 290 124 8 × 2 = 0 + 0,307 900 580 249 6;
  • 15) 0,307 900 580 249 6 × 2 = 0 + 0,615 801 160 499 2;
  • 16) 0,615 801 160 499 2 × 2 = 1 + 0,231 602 320 998 4;
  • 17) 0,231 602 320 998 4 × 2 = 0 + 0,463 204 641 996 8;
  • 18) 0,463 204 641 996 8 × 2 = 0 + 0,926 409 283 993 6;
  • 19) 0,926 409 283 993 6 × 2 = 1 + 0,852 818 567 987 2;
  • 20) 0,852 818 567 987 2 × 2 = 1 + 0,705 637 135 974 4;
  • 21) 0,705 637 135 974 4 × 2 = 1 + 0,411 274 271 948 8;
  • 22) 0,411 274 271 948 8 × 2 = 0 + 0,822 548 543 897 6;
  • 23) 0,822 548 543 897 6 × 2 = 1 + 0,645 097 087 795 2;
  • 24) 0,645 097 087 795 2 × 2 = 1 + 0,290 194 175 590 4;
  • 25) 0,290 194 175 590 4 × 2 = 0 + 0,580 388 351 180 8;
  • 26) 0,580 388 351 180 8 × 2 = 1 + 0,160 776 702 361 6;
  • 27) 0,160 776 702 361 6 × 2 = 0 + 0,321 553 404 723 2;
  • 28) 0,321 553 404 723 2 × 2 = 0 + 0,643 106 809 446 4;
  • 29) 0,643 106 809 446 4 × 2 = 1 + 0,286 213 618 892 8;
  • 30) 0,286 213 618 892 8 × 2 = 0 + 0,572 427 237 785 6;
  • 31) 0,572 427 237 785 6 × 2 = 1 + 0,144 854 475 571 2;
  • 32) 0,144 854 475 571 2 × 2 = 0 + 0,289 708 951 142 4;
  • 33) 0,289 708 951 142 4 × 2 = 0 + 0,579 417 902 284 8;
  • 34) 0,579 417 902 284 8 × 2 = 1 + 0,158 835 804 569 6;
  • 35) 0,158 835 804 569 6 × 2 = 0 + 0,317 671 609 139 2;
  • 36) 0,317 671 609 139 2 × 2 = 0 + 0,635 343 218 278 4;
  • 37) 0,635 343 218 278 4 × 2 = 1 + 0,270 686 436 556 8;
  • 38) 0,270 686 436 556 8 × 2 = 0 + 0,541 372 873 113 6;
  • 39) 0,541 372 873 113 6 × 2 = 1 + 0,082 745 746 227 2;
  • 40) 0,082 745 746 227 2 × 2 = 0 + 0,165 491 492 454 4;
  • 41) 0,165 491 492 454 4 × 2 = 0 + 0,330 982 984 908 8;
  • 42) 0,330 982 984 908 8 × 2 = 0 + 0,661 965 969 817 6;
  • 43) 0,661 965 969 817 6 × 2 = 1 + 0,323 931 939 635 2;
  • 44) 0,323 931 939 635 2 × 2 = 0 + 0,647 863 879 270 4;
  • 45) 0,647 863 879 270 4 × 2 = 1 + 0,295 727 758 540 8;
  • 46) 0,295 727 758 540 8 × 2 = 0 + 0,591 455 517 081 6;
  • 47) 0,591 455 517 081 6 × 2 = 1 + 0,182 911 034 163 2;
  • 48) 0,182 911 034 163 2 × 2 = 0 + 0,365 822 068 326 4;
  • 49) 0,365 822 068 326 4 × 2 = 0 + 0,731 644 136 652 8;
  • 50) 0,731 644 136 652 8 × 2 = 1 + 0,463 288 273 305 6;
  • 51) 0,463 288 273 305 6 × 2 = 0 + 0,926 576 546 611 2;
  • 52) 0,926 576 546 611 2 × 2 = 1 + 0,853 153 093 222 4;
  • 53) 0,853 153 093 222 4 × 2 = 1 + 0,706 306 186 444 8;
  • 54) 0,706 306 186 444 8 × 2 = 1 + 0,412 612 372 889 6;
  • 55) 0,412 612 372 889 6 × 2 = 0 + 0,825 224 745 779 2;
  • 56) 0,825 224 745 779 2 × 2 = 1 + 0,650 449 491 558 4;
  • 57) 0,650 449 491 558 4 × 2 = 1 + 0,300 898 983 116 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,033 343 988 072 525(10) =

0,0000 1000 1000 1001 0011 1011 0100 1010 0100 1010 0010 1010 0101 1101 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,033 343 988 072 525(10) =

0,0000 1000 1000 1001 0011 1011 0100 1010 0100 1010 0010 1010 0101 1101 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,033 343 988 072 525(10) =

0,0000 1000 1000 1001 0011 1011 0100 1010 0100 1010 0010 1010 0101 1101 1(2) =

0,0000 1000 1000 1001 0011 1011 0100 1010 0100 1010 0010 1010 0101 1101 1(2) × 20 =

1,0001 0001 0010 0111 0110 1001 0100 1001 0100 0101 0100 1011 1011(2) × 2-5


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -5

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0001 0010 0111 0110 1001 0100 1001 0100 0101 0100 1011 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-5 + 2(11-1) - 1 =

(-5 + 1 023)(10) =

1 018(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 018 : 2 = 509 + 0;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1018(10) =

011 1111 1010(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0001 0010 0111 0110 1001 0100 1001 0100 0101 0100 1011 1011 =

0001 0001 0010 0111 0110 1001 0100 1001 0100 0101 0100 1011 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1010

Mantisă (52 biți) =
0001 0001 0010 0111 0110 1001 0100 1001 0100 0101 0100 1011 1011


Numărul zecimal -0,033 343 988 072 525 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1010 - 0001 0001 0010 0111 0110 1001 0100 1001 0100 0101 0100 1011 1011

» Scriere -0,033 343 988 072 56 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100