-0,042 419 142 294 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,042 419 142 294 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,042 419 142 294 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,042 419 142 294 6| = 0,042 419 142 294 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,042 419 142 294 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,042 419 142 294 6 × 2 = 0 + 0,084 838 284 589 2;
  • 2) 0,084 838 284 589 2 × 2 = 0 + 0,169 676 569 178 4;
  • 3) 0,169 676 569 178 4 × 2 = 0 + 0,339 353 138 356 8;
  • 4) 0,339 353 138 356 8 × 2 = 0 + 0,678 706 276 713 6;
  • 5) 0,678 706 276 713 6 × 2 = 1 + 0,357 412 553 427 2;
  • 6) 0,357 412 553 427 2 × 2 = 0 + 0,714 825 106 854 4;
  • 7) 0,714 825 106 854 4 × 2 = 1 + 0,429 650 213 708 8;
  • 8) 0,429 650 213 708 8 × 2 = 0 + 0,859 300 427 417 6;
  • 9) 0,859 300 427 417 6 × 2 = 1 + 0,718 600 854 835 2;
  • 10) 0,718 600 854 835 2 × 2 = 1 + 0,437 201 709 670 4;
  • 11) 0,437 201 709 670 4 × 2 = 0 + 0,874 403 419 340 8;
  • 12) 0,874 403 419 340 8 × 2 = 1 + 0,748 806 838 681 6;
  • 13) 0,748 806 838 681 6 × 2 = 1 + 0,497 613 677 363 2;
  • 14) 0,497 613 677 363 2 × 2 = 0 + 0,995 227 354 726 4;
  • 15) 0,995 227 354 726 4 × 2 = 1 + 0,990 454 709 452 8;
  • 16) 0,990 454 709 452 8 × 2 = 1 + 0,980 909 418 905 6;
  • 17) 0,980 909 418 905 6 × 2 = 1 + 0,961 818 837 811 2;
  • 18) 0,961 818 837 811 2 × 2 = 1 + 0,923 637 675 622 4;
  • 19) 0,923 637 675 622 4 × 2 = 1 + 0,847 275 351 244 8;
  • 20) 0,847 275 351 244 8 × 2 = 1 + 0,694 550 702 489 6;
  • 21) 0,694 550 702 489 6 × 2 = 1 + 0,389 101 404 979 2;
  • 22) 0,389 101 404 979 2 × 2 = 0 + 0,778 202 809 958 4;
  • 23) 0,778 202 809 958 4 × 2 = 1 + 0,556 405 619 916 8;
  • 24) 0,556 405 619 916 8 × 2 = 1 + 0,112 811 239 833 6;
  • 25) 0,112 811 239 833 6 × 2 = 0 + 0,225 622 479 667 2;
  • 26) 0,225 622 479 667 2 × 2 = 0 + 0,451 244 959 334 4;
  • 27) 0,451 244 959 334 4 × 2 = 0 + 0,902 489 918 668 8;
  • 28) 0,902 489 918 668 8 × 2 = 1 + 0,804 979 837 337 6;
  • 29) 0,804 979 837 337 6 × 2 = 1 + 0,609 959 674 675 2;
  • 30) 0,609 959 674 675 2 × 2 = 1 + 0,219 919 349 350 4;
  • 31) 0,219 919 349 350 4 × 2 = 0 + 0,439 838 698 700 8;
  • 32) 0,439 838 698 700 8 × 2 = 0 + 0,879 677 397 401 6;
  • 33) 0,879 677 397 401 6 × 2 = 1 + 0,759 354 794 803 2;
  • 34) 0,759 354 794 803 2 × 2 = 1 + 0,518 709 589 606 4;
  • 35) 0,518 709 589 606 4 × 2 = 1 + 0,037 419 179 212 8;
  • 36) 0,037 419 179 212 8 × 2 = 0 + 0,074 838 358 425 6;
  • 37) 0,074 838 358 425 6 × 2 = 0 + 0,149 676 716 851 2;
  • 38) 0,149 676 716 851 2 × 2 = 0 + 0,299 353 433 702 4;
  • 39) 0,299 353 433 702 4 × 2 = 0 + 0,598 706 867 404 8;
  • 40) 0,598 706 867 404 8 × 2 = 1 + 0,197 413 734 809 6;
  • 41) 0,197 413 734 809 6 × 2 = 0 + 0,394 827 469 619 2;
  • 42) 0,394 827 469 619 2 × 2 = 0 + 0,789 654 939 238 4;
  • 43) 0,789 654 939 238 4 × 2 = 1 + 0,579 309 878 476 8;
  • 44) 0,579 309 878 476 8 × 2 = 1 + 0,158 619 756 953 6;
  • 45) 0,158 619 756 953 6 × 2 = 0 + 0,317 239 513 907 2;
  • 46) 0,317 239 513 907 2 × 2 = 0 + 0,634 479 027 814 4;
  • 47) 0,634 479 027 814 4 × 2 = 1 + 0,268 958 055 628 8;
  • 48) 0,268 958 055 628 8 × 2 = 0 + 0,537 916 111 257 6;
  • 49) 0,537 916 111 257 6 × 2 = 1 + 0,075 832 222 515 2;
  • 50) 0,075 832 222 515 2 × 2 = 0 + 0,151 664 445 030 4;
  • 51) 0,151 664 445 030 4 × 2 = 0 + 0,303 328 890 060 8;
  • 52) 0,303 328 890 060 8 × 2 = 0 + 0,606 657 780 121 6;
  • 53) 0,606 657 780 121 6 × 2 = 1 + 0,213 315 560 243 2;
  • 54) 0,213 315 560 243 2 × 2 = 0 + 0,426 631 120 486 4;
  • 55) 0,426 631 120 486 4 × 2 = 0 + 0,853 262 240 972 8;
  • 56) 0,853 262 240 972 8 × 2 = 1 + 0,706 524 481 945 6;
  • 57) 0,706 524 481 945 6 × 2 = 1 + 0,413 048 963 891 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,042 419 142 294 6(10) =

0,0000 1010 1101 1011 1111 1011 0001 1100 1110 0001 0011 0010 1000 1001 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,042 419 142 294 6(10) =

0,0000 1010 1101 1011 1111 1011 0001 1100 1110 0001 0011 0010 1000 1001 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,042 419 142 294 6(10) =

0,0000 1010 1101 1011 1111 1011 0001 1100 1110 0001 0011 0010 1000 1001 1(2) =

0,0000 1010 1101 1011 1111 1011 0001 1100 1110 0001 0011 0010 1000 1001 1(2) × 20 =

1,0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1100 0010 0110 0101 0001 0011(2) × 2-5


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -5

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1100 0010 0110 0101 0001 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-5 + 2(11-1) - 1 =

(-5 + 1 023)(10) =

1 018(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 018 : 2 = 509 + 0;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1018(10) =

011 1111 1010(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1100 0010 0110 0101 0001 0011 =

0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1100 0010 0110 0101 0001 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1010

Mantisă (52 biți) =
0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1100 0010 0110 0101 0001 0011


Numărul zecimal -0,042 419 142 294 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1010 - 0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1100 0010 0110 0101 0001 0011

» Scriere -0,042 419 142 288 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100