-0,042 419 142 298 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,042 419 142 298 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,042 419 142 298 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,042 419 142 298 7| = 0,042 419 142 298 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,042 419 142 298 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,042 419 142 298 7 × 2 = 0 + 0,084 838 284 597 4;
  • 2) 0,084 838 284 597 4 × 2 = 0 + 0,169 676 569 194 8;
  • 3) 0,169 676 569 194 8 × 2 = 0 + 0,339 353 138 389 6;
  • 4) 0,339 353 138 389 6 × 2 = 0 + 0,678 706 276 779 2;
  • 5) 0,678 706 276 779 2 × 2 = 1 + 0,357 412 553 558 4;
  • 6) 0,357 412 553 558 4 × 2 = 0 + 0,714 825 107 116 8;
  • 7) 0,714 825 107 116 8 × 2 = 1 + 0,429 650 214 233 6;
  • 8) 0,429 650 214 233 6 × 2 = 0 + 0,859 300 428 467 2;
  • 9) 0,859 300 428 467 2 × 2 = 1 + 0,718 600 856 934 4;
  • 10) 0,718 600 856 934 4 × 2 = 1 + 0,437 201 713 868 8;
  • 11) 0,437 201 713 868 8 × 2 = 0 + 0,874 403 427 737 6;
  • 12) 0,874 403 427 737 6 × 2 = 1 + 0,748 806 855 475 2;
  • 13) 0,748 806 855 475 2 × 2 = 1 + 0,497 613 710 950 4;
  • 14) 0,497 613 710 950 4 × 2 = 0 + 0,995 227 421 900 8;
  • 15) 0,995 227 421 900 8 × 2 = 1 + 0,990 454 843 801 6;
  • 16) 0,990 454 843 801 6 × 2 = 1 + 0,980 909 687 603 2;
  • 17) 0,980 909 687 603 2 × 2 = 1 + 0,961 819 375 206 4;
  • 18) 0,961 819 375 206 4 × 2 = 1 + 0,923 638 750 412 8;
  • 19) 0,923 638 750 412 8 × 2 = 1 + 0,847 277 500 825 6;
  • 20) 0,847 277 500 825 6 × 2 = 1 + 0,694 555 001 651 2;
  • 21) 0,694 555 001 651 2 × 2 = 1 + 0,389 110 003 302 4;
  • 22) 0,389 110 003 302 4 × 2 = 0 + 0,778 220 006 604 8;
  • 23) 0,778 220 006 604 8 × 2 = 1 + 0,556 440 013 209 6;
  • 24) 0,556 440 013 209 6 × 2 = 1 + 0,112 880 026 419 2;
  • 25) 0,112 880 026 419 2 × 2 = 0 + 0,225 760 052 838 4;
  • 26) 0,225 760 052 838 4 × 2 = 0 + 0,451 520 105 676 8;
  • 27) 0,451 520 105 676 8 × 2 = 0 + 0,903 040 211 353 6;
  • 28) 0,903 040 211 353 6 × 2 = 1 + 0,806 080 422 707 2;
  • 29) 0,806 080 422 707 2 × 2 = 1 + 0,612 160 845 414 4;
  • 30) 0,612 160 845 414 4 × 2 = 1 + 0,224 321 690 828 8;
  • 31) 0,224 321 690 828 8 × 2 = 0 + 0,448 643 381 657 6;
  • 32) 0,448 643 381 657 6 × 2 = 0 + 0,897 286 763 315 2;
  • 33) 0,897 286 763 315 2 × 2 = 1 + 0,794 573 526 630 4;
  • 34) 0,794 573 526 630 4 × 2 = 1 + 0,589 147 053 260 8;
  • 35) 0,589 147 053 260 8 × 2 = 1 + 0,178 294 106 521 6;
  • 36) 0,178 294 106 521 6 × 2 = 0 + 0,356 588 213 043 2;
  • 37) 0,356 588 213 043 2 × 2 = 0 + 0,713 176 426 086 4;
  • 38) 0,713 176 426 086 4 × 2 = 1 + 0,426 352 852 172 8;
  • 39) 0,426 352 852 172 8 × 2 = 0 + 0,852 705 704 345 6;
  • 40) 0,852 705 704 345 6 × 2 = 1 + 0,705 411 408 691 2;
  • 41) 0,705 411 408 691 2 × 2 = 1 + 0,410 822 817 382 4;
  • 42) 0,410 822 817 382 4 × 2 = 0 + 0,821 645 634 764 8;
  • 43) 0,821 645 634 764 8 × 2 = 1 + 0,643 291 269 529 6;
  • 44) 0,643 291 269 529 6 × 2 = 1 + 0,286 582 539 059 2;
  • 45) 0,286 582 539 059 2 × 2 = 0 + 0,573 165 078 118 4;
  • 46) 0,573 165 078 118 4 × 2 = 1 + 0,146 330 156 236 8;
  • 47) 0,146 330 156 236 8 × 2 = 0 + 0,292 660 312 473 6;
  • 48) 0,292 660 312 473 6 × 2 = 0 + 0,585 320 624 947 2;
  • 49) 0,585 320 624 947 2 × 2 = 1 + 0,170 641 249 894 4;
  • 50) 0,170 641 249 894 4 × 2 = 0 + 0,341 282 499 788 8;
  • 51) 0,341 282 499 788 8 × 2 = 0 + 0,682 564 999 577 6;
  • 52) 0,682 564 999 577 6 × 2 = 1 + 0,365 129 999 155 2;
  • 53) 0,365 129 999 155 2 × 2 = 0 + 0,730 259 998 310 4;
  • 54) 0,730 259 998 310 4 × 2 = 1 + 0,460 519 996 620 8;
  • 55) 0,460 519 996 620 8 × 2 = 0 + 0,921 039 993 241 6;
  • 56) 0,921 039 993 241 6 × 2 = 1 + 0,842 079 986 483 2;
  • 57) 0,842 079 986 483 2 × 2 = 1 + 0,684 159 972 966 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,042 419 142 298 7(10) =

0,0000 1010 1101 1011 1111 1011 0001 1100 1110 0101 1011 0100 1001 0101 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,042 419 142 298 7(10) =

0,0000 1010 1101 1011 1111 1011 0001 1100 1110 0101 1011 0100 1001 0101 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,042 419 142 298 7(10) =

0,0000 1010 1101 1011 1111 1011 0001 1100 1110 0101 1011 0100 1001 0101 1(2) =

0,0000 1010 1101 1011 1111 1011 0001 1100 1110 0101 1011 0100 1001 0101 1(2) × 20 =

1,0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1100 1011 0110 1001 0010 1011(2) × 2-5


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -5

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1100 1011 0110 1001 0010 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-5 + 2(11-1) - 1 =

(-5 + 1 023)(10) =

1 018(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 018 : 2 = 509 + 0;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1018(10) =

011 1111 1010(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1100 1011 0110 1001 0010 1011 =

0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1100 1011 0110 1001 0010 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1010

Mantisă (52 biți) =
0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1100 1011 0110 1001 0010 1011


Numărul zecimal -0,042 419 142 298 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1010 - 0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1100 1011 0110 1001 0010 1011

» Scriere -0,042 419 142 302 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100