-0,042 419 142 308 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,042 419 142 308 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,042 419 142 308 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,042 419 142 308 2| = 0,042 419 142 308 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,042 419 142 308 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,042 419 142 308 2 × 2 = 0 + 0,084 838 284 616 4;
  • 2) 0,084 838 284 616 4 × 2 = 0 + 0,169 676 569 232 8;
  • 3) 0,169 676 569 232 8 × 2 = 0 + 0,339 353 138 465 6;
  • 4) 0,339 353 138 465 6 × 2 = 0 + 0,678 706 276 931 2;
  • 5) 0,678 706 276 931 2 × 2 = 1 + 0,357 412 553 862 4;
  • 6) 0,357 412 553 862 4 × 2 = 0 + 0,714 825 107 724 8;
  • 7) 0,714 825 107 724 8 × 2 = 1 + 0,429 650 215 449 6;
  • 8) 0,429 650 215 449 6 × 2 = 0 + 0,859 300 430 899 2;
  • 9) 0,859 300 430 899 2 × 2 = 1 + 0,718 600 861 798 4;
  • 10) 0,718 600 861 798 4 × 2 = 1 + 0,437 201 723 596 8;
  • 11) 0,437 201 723 596 8 × 2 = 0 + 0,874 403 447 193 6;
  • 12) 0,874 403 447 193 6 × 2 = 1 + 0,748 806 894 387 2;
  • 13) 0,748 806 894 387 2 × 2 = 1 + 0,497 613 788 774 4;
  • 14) 0,497 613 788 774 4 × 2 = 0 + 0,995 227 577 548 8;
  • 15) 0,995 227 577 548 8 × 2 = 1 + 0,990 455 155 097 6;
  • 16) 0,990 455 155 097 6 × 2 = 1 + 0,980 910 310 195 2;
  • 17) 0,980 910 310 195 2 × 2 = 1 + 0,961 820 620 390 4;
  • 18) 0,961 820 620 390 4 × 2 = 1 + 0,923 641 240 780 8;
  • 19) 0,923 641 240 780 8 × 2 = 1 + 0,847 282 481 561 6;
  • 20) 0,847 282 481 561 6 × 2 = 1 + 0,694 564 963 123 2;
  • 21) 0,694 564 963 123 2 × 2 = 1 + 0,389 129 926 246 4;
  • 22) 0,389 129 926 246 4 × 2 = 0 + 0,778 259 852 492 8;
  • 23) 0,778 259 852 492 8 × 2 = 1 + 0,556 519 704 985 6;
  • 24) 0,556 519 704 985 6 × 2 = 1 + 0,113 039 409 971 2;
  • 25) 0,113 039 409 971 2 × 2 = 0 + 0,226 078 819 942 4;
  • 26) 0,226 078 819 942 4 × 2 = 0 + 0,452 157 639 884 8;
  • 27) 0,452 157 639 884 8 × 2 = 0 + 0,904 315 279 769 6;
  • 28) 0,904 315 279 769 6 × 2 = 1 + 0,808 630 559 539 2;
  • 29) 0,808 630 559 539 2 × 2 = 1 + 0,617 261 119 078 4;
  • 30) 0,617 261 119 078 4 × 2 = 1 + 0,234 522 238 156 8;
  • 31) 0,234 522 238 156 8 × 2 = 0 + 0,469 044 476 313 6;
  • 32) 0,469 044 476 313 6 × 2 = 0 + 0,938 088 952 627 2;
  • 33) 0,938 088 952 627 2 × 2 = 1 + 0,876 177 905 254 4;
  • 34) 0,876 177 905 254 4 × 2 = 1 + 0,752 355 810 508 8;
  • 35) 0,752 355 810 508 8 × 2 = 1 + 0,504 711 621 017 6;
  • 36) 0,504 711 621 017 6 × 2 = 1 + 0,009 423 242 035 2;
  • 37) 0,009 423 242 035 2 × 2 = 0 + 0,018 846 484 070 4;
  • 38) 0,018 846 484 070 4 × 2 = 0 + 0,037 692 968 140 8;
  • 39) 0,037 692 968 140 8 × 2 = 0 + 0,075 385 936 281 6;
  • 40) 0,075 385 936 281 6 × 2 = 0 + 0,150 771 872 563 2;
  • 41) 0,150 771 872 563 2 × 2 = 0 + 0,301 543 745 126 4;
  • 42) 0,301 543 745 126 4 × 2 = 0 + 0,603 087 490 252 8;
  • 43) 0,603 087 490 252 8 × 2 = 1 + 0,206 174 980 505 6;
  • 44) 0,206 174 980 505 6 × 2 = 0 + 0,412 349 961 011 2;
  • 45) 0,412 349 961 011 2 × 2 = 0 + 0,824 699 922 022 4;
  • 46) 0,824 699 922 022 4 × 2 = 1 + 0,649 399 844 044 8;
  • 47) 0,649 399 844 044 8 × 2 = 1 + 0,298 799 688 089 6;
  • 48) 0,298 799 688 089 6 × 2 = 0 + 0,597 599 376 179 2;
  • 49) 0,597 599 376 179 2 × 2 = 1 + 0,195 198 752 358 4;
  • 50) 0,195 198 752 358 4 × 2 = 0 + 0,390 397 504 716 8;
  • 51) 0,390 397 504 716 8 × 2 = 0 + 0,780 795 009 433 6;
  • 52) 0,780 795 009 433 6 × 2 = 1 + 0,561 590 018 867 2;
  • 53) 0,561 590 018 867 2 × 2 = 1 + 0,123 180 037 734 4;
  • 54) 0,123 180 037 734 4 × 2 = 0 + 0,246 360 075 468 8;
  • 55) 0,246 360 075 468 8 × 2 = 0 + 0,492 720 150 937 6;
  • 56) 0,492 720 150 937 6 × 2 = 0 + 0,985 440 301 875 2;
  • 57) 0,985 440 301 875 2 × 2 = 1 + 0,970 880 603 750 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,042 419 142 308 2(10) =

0,0000 1010 1101 1011 1111 1011 0001 1100 1111 0000 0010 0110 1001 1000 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,042 419 142 308 2(10) =

0,0000 1010 1101 1011 1111 1011 0001 1100 1111 0000 0010 0110 1001 1000 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,042 419 142 308 2(10) =

0,0000 1010 1101 1011 1111 1011 0001 1100 1111 0000 0010 0110 1001 1000 1(2) =

0,0000 1010 1101 1011 1111 1011 0001 1100 1111 0000 0010 0110 1001 1000 1(2) × 20 =

1,0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1110 0000 0100 1101 0011 0001(2) × 2-5


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -5

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1110 0000 0100 1101 0011 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-5 + 2(11-1) - 1 =

(-5 + 1 023)(10) =

1 018(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 018 : 2 = 509 + 0;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1018(10) =

011 1111 1010(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1110 0000 0100 1101 0011 0001 =

0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1110 0000 0100 1101 0011 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1010

Mantisă (52 biți) =
0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1110 0000 0100 1101 0011 0001


Numărul zecimal -0,042 419 142 308 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1010 - 0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1110 0000 0100 1101 0011 0001

» Scriere -0,042 419 142 317 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100