-0,042 419 142 309 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,042 419 142 309 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,042 419 142 309 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,042 419 142 309 9| = 0,042 419 142 309 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,042 419 142 309 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,042 419 142 309 9 × 2 = 0 + 0,084 838 284 619 8;
  • 2) 0,084 838 284 619 8 × 2 = 0 + 0,169 676 569 239 6;
  • 3) 0,169 676 569 239 6 × 2 = 0 + 0,339 353 138 479 2;
  • 4) 0,339 353 138 479 2 × 2 = 0 + 0,678 706 276 958 4;
  • 5) 0,678 706 276 958 4 × 2 = 1 + 0,357 412 553 916 8;
  • 6) 0,357 412 553 916 8 × 2 = 0 + 0,714 825 107 833 6;
  • 7) 0,714 825 107 833 6 × 2 = 1 + 0,429 650 215 667 2;
  • 8) 0,429 650 215 667 2 × 2 = 0 + 0,859 300 431 334 4;
  • 9) 0,859 300 431 334 4 × 2 = 1 + 0,718 600 862 668 8;
  • 10) 0,718 600 862 668 8 × 2 = 1 + 0,437 201 725 337 6;
  • 11) 0,437 201 725 337 6 × 2 = 0 + 0,874 403 450 675 2;
  • 12) 0,874 403 450 675 2 × 2 = 1 + 0,748 806 901 350 4;
  • 13) 0,748 806 901 350 4 × 2 = 1 + 0,497 613 802 700 8;
  • 14) 0,497 613 802 700 8 × 2 = 0 + 0,995 227 605 401 6;
  • 15) 0,995 227 605 401 6 × 2 = 1 + 0,990 455 210 803 2;
  • 16) 0,990 455 210 803 2 × 2 = 1 + 0,980 910 421 606 4;
  • 17) 0,980 910 421 606 4 × 2 = 1 + 0,961 820 843 212 8;
  • 18) 0,961 820 843 212 8 × 2 = 1 + 0,923 641 686 425 6;
  • 19) 0,923 641 686 425 6 × 2 = 1 + 0,847 283 372 851 2;
  • 20) 0,847 283 372 851 2 × 2 = 1 + 0,694 566 745 702 4;
  • 21) 0,694 566 745 702 4 × 2 = 1 + 0,389 133 491 404 8;
  • 22) 0,389 133 491 404 8 × 2 = 0 + 0,778 266 982 809 6;
  • 23) 0,778 266 982 809 6 × 2 = 1 + 0,556 533 965 619 2;
  • 24) 0,556 533 965 619 2 × 2 = 1 + 0,113 067 931 238 4;
  • 25) 0,113 067 931 238 4 × 2 = 0 + 0,226 135 862 476 8;
  • 26) 0,226 135 862 476 8 × 2 = 0 + 0,452 271 724 953 6;
  • 27) 0,452 271 724 953 6 × 2 = 0 + 0,904 543 449 907 2;
  • 28) 0,904 543 449 907 2 × 2 = 1 + 0,809 086 899 814 4;
  • 29) 0,809 086 899 814 4 × 2 = 1 + 0,618 173 799 628 8;
  • 30) 0,618 173 799 628 8 × 2 = 1 + 0,236 347 599 257 6;
  • 31) 0,236 347 599 257 6 × 2 = 0 + 0,472 695 198 515 2;
  • 32) 0,472 695 198 515 2 × 2 = 0 + 0,945 390 397 030 4;
  • 33) 0,945 390 397 030 4 × 2 = 1 + 0,890 780 794 060 8;
  • 34) 0,890 780 794 060 8 × 2 = 1 + 0,781 561 588 121 6;
  • 35) 0,781 561 588 121 6 × 2 = 1 + 0,563 123 176 243 2;
  • 36) 0,563 123 176 243 2 × 2 = 1 + 0,126 246 352 486 4;
  • 37) 0,126 246 352 486 4 × 2 = 0 + 0,252 492 704 972 8;
  • 38) 0,252 492 704 972 8 × 2 = 0 + 0,504 985 409 945 6;
  • 39) 0,504 985 409 945 6 × 2 = 1 + 0,009 970 819 891 2;
  • 40) 0,009 970 819 891 2 × 2 = 0 + 0,019 941 639 782 4;
  • 41) 0,019 941 639 782 4 × 2 = 0 + 0,039 883 279 564 8;
  • 42) 0,039 883 279 564 8 × 2 = 0 + 0,079 766 559 129 6;
  • 43) 0,079 766 559 129 6 × 2 = 0 + 0,159 533 118 259 2;
  • 44) 0,159 533 118 259 2 × 2 = 0 + 0,319 066 236 518 4;
  • 45) 0,319 066 236 518 4 × 2 = 0 + 0,638 132 473 036 8;
  • 46) 0,638 132 473 036 8 × 2 = 1 + 0,276 264 946 073 6;
  • 47) 0,276 264 946 073 6 × 2 = 0 + 0,552 529 892 147 2;
  • 48) 0,552 529 892 147 2 × 2 = 1 + 0,105 059 784 294 4;
  • 49) 0,105 059 784 294 4 × 2 = 0 + 0,210 119 568 588 8;
  • 50) 0,210 119 568 588 8 × 2 = 0 + 0,420 239 137 177 6;
  • 51) 0,420 239 137 177 6 × 2 = 0 + 0,840 478 274 355 2;
  • 52) 0,840 478 274 355 2 × 2 = 1 + 0,680 956 548 710 4;
  • 53) 0,680 956 548 710 4 × 2 = 1 + 0,361 913 097 420 8;
  • 54) 0,361 913 097 420 8 × 2 = 0 + 0,723 826 194 841 6;
  • 55) 0,723 826 194 841 6 × 2 = 1 + 0,447 652 389 683 2;
  • 56) 0,447 652 389 683 2 × 2 = 0 + 0,895 304 779 366 4;
  • 57) 0,895 304 779 366 4 × 2 = 1 + 0,790 609 558 732 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,042 419 142 309 9(10) =

0,0000 1010 1101 1011 1111 1011 0001 1100 1111 0010 0000 0101 0001 1010 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,042 419 142 309 9(10) =

0,0000 1010 1101 1011 1111 1011 0001 1100 1111 0010 0000 0101 0001 1010 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,042 419 142 309 9(10) =

0,0000 1010 1101 1011 1111 1011 0001 1100 1111 0010 0000 0101 0001 1010 1(2) =

0,0000 1010 1101 1011 1111 1011 0001 1100 1111 0010 0000 0101 0001 1010 1(2) × 20 =

1,0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1110 0100 0000 1010 0011 0101(2) × 2-5


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -5

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1110 0100 0000 1010 0011 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-5 + 2(11-1) - 1 =

(-5 + 1 023)(10) =

1 018(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 018 : 2 = 509 + 0;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1018(10) =

011 1111 1010(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1110 0100 0000 1010 0011 0101 =

0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1110 0100 0000 1010 0011 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1010

Mantisă (52 biți) =
0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1110 0100 0000 1010 0011 0101


Numărul zecimal -0,042 419 142 309 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1010 - 0101 1011 0111 1111 0110 0011 1001 1110 0100 0000 1010 0011 0101

» Scriere -0,042 419 142 309 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100