-0,048 632 677 916 771 838 155 44 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,048 632 677 916 771 838 155 44(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,048 632 677 916 771 838 155 44(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,048 632 677 916 771 838 155 44| = 0,048 632 677 916 771 838 155 44


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,048 632 677 916 771 838 155 44.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,048 632 677 916 771 838 155 44 × 2 = 0 + 0,097 265 355 833 543 676 310 88;
  • 2) 0,097 265 355 833 543 676 310 88 × 2 = 0 + 0,194 530 711 667 087 352 621 76;
  • 3) 0,194 530 711 667 087 352 621 76 × 2 = 0 + 0,389 061 423 334 174 705 243 52;
  • 4) 0,389 061 423 334 174 705 243 52 × 2 = 0 + 0,778 122 846 668 349 410 487 04;
  • 5) 0,778 122 846 668 349 410 487 04 × 2 = 1 + 0,556 245 693 336 698 820 974 08;
  • 6) 0,556 245 693 336 698 820 974 08 × 2 = 1 + 0,112 491 386 673 397 641 948 16;
  • 7) 0,112 491 386 673 397 641 948 16 × 2 = 0 + 0,224 982 773 346 795 283 896 32;
  • 8) 0,224 982 773 346 795 283 896 32 × 2 = 0 + 0,449 965 546 693 590 567 792 64;
  • 9) 0,449 965 546 693 590 567 792 64 × 2 = 0 + 0,899 931 093 387 181 135 585 28;
  • 10) 0,899 931 093 387 181 135 585 28 × 2 = 1 + 0,799 862 186 774 362 271 170 56;
  • 11) 0,799 862 186 774 362 271 170 56 × 2 = 1 + 0,599 724 373 548 724 542 341 12;
  • 12) 0,599 724 373 548 724 542 341 12 × 2 = 1 + 0,199 448 747 097 449 084 682 24;
  • 13) 0,199 448 747 097 449 084 682 24 × 2 = 0 + 0,398 897 494 194 898 169 364 48;
  • 14) 0,398 897 494 194 898 169 364 48 × 2 = 0 + 0,797 794 988 389 796 338 728 96;
  • 15) 0,797 794 988 389 796 338 728 96 × 2 = 1 + 0,595 589 976 779 592 677 457 92;
  • 16) 0,595 589 976 779 592 677 457 92 × 2 = 1 + 0,191 179 953 559 185 354 915 84;
  • 17) 0,191 179 953 559 185 354 915 84 × 2 = 0 + 0,382 359 907 118 370 709 831 68;
  • 18) 0,382 359 907 118 370 709 831 68 × 2 = 0 + 0,764 719 814 236 741 419 663 36;
  • 19) 0,764 719 814 236 741 419 663 36 × 2 = 1 + 0,529 439 628 473 482 839 326 72;
  • 20) 0,529 439 628 473 482 839 326 72 × 2 = 1 + 0,058 879 256 946 965 678 653 44;
  • 21) 0,058 879 256 946 965 678 653 44 × 2 = 0 + 0,117 758 513 893 931 357 306 88;
  • 22) 0,117 758 513 893 931 357 306 88 × 2 = 0 + 0,235 517 027 787 862 714 613 76;
  • 23) 0,235 517 027 787 862 714 613 76 × 2 = 0 + 0,471 034 055 575 725 429 227 52;
  • 24) 0,471 034 055 575 725 429 227 52 × 2 = 0 + 0,942 068 111 151 450 858 455 04;
  • 25) 0,942 068 111 151 450 858 455 04 × 2 = 1 + 0,884 136 222 302 901 716 910 08;
  • 26) 0,884 136 222 302 901 716 910 08 × 2 = 1 + 0,768 272 444 605 803 433 820 16;
  • 27) 0,768 272 444 605 803 433 820 16 × 2 = 1 + 0,536 544 889 211 606 867 640 32;
  • 28) 0,536 544 889 211 606 867 640 32 × 2 = 1 + 0,073 089 778 423 213 735 280 64;
  • 29) 0,073 089 778 423 213 735 280 64 × 2 = 0 + 0,146 179 556 846 427 470 561 28;
  • 30) 0,146 179 556 846 427 470 561 28 × 2 = 0 + 0,292 359 113 692 854 941 122 56;
  • 31) 0,292 359 113 692 854 941 122 56 × 2 = 0 + 0,584 718 227 385 709 882 245 12;
  • 32) 0,584 718 227 385 709 882 245 12 × 2 = 1 + 0,169 436 454 771 419 764 490 24;
  • 33) 0,169 436 454 771 419 764 490 24 × 2 = 0 + 0,338 872 909 542 839 528 980 48;
  • 34) 0,338 872 909 542 839 528 980 48 × 2 = 0 + 0,677 745 819 085 679 057 960 96;
  • 35) 0,677 745 819 085 679 057 960 96 × 2 = 1 + 0,355 491 638 171 358 115 921 92;
  • 36) 0,355 491 638 171 358 115 921 92 × 2 = 0 + 0,710 983 276 342 716 231 843 84;
  • 37) 0,710 983 276 342 716 231 843 84 × 2 = 1 + 0,421 966 552 685 432 463 687 68;
  • 38) 0,421 966 552 685 432 463 687 68 × 2 = 0 + 0,843 933 105 370 864 927 375 36;
  • 39) 0,843 933 105 370 864 927 375 36 × 2 = 1 + 0,687 866 210 741 729 854 750 72;
  • 40) 0,687 866 210 741 729 854 750 72 × 2 = 1 + 0,375 732 421 483 459 709 501 44;
  • 41) 0,375 732 421 483 459 709 501 44 × 2 = 0 + 0,751 464 842 966 919 419 002 88;
  • 42) 0,751 464 842 966 919 419 002 88 × 2 = 1 + 0,502 929 685 933 838 838 005 76;
  • 43) 0,502 929 685 933 838 838 005 76 × 2 = 1 + 0,005 859 371 867 677 676 011 52;
  • 44) 0,005 859 371 867 677 676 011 52 × 2 = 0 + 0,011 718 743 735 355 352 023 04;
  • 45) 0,011 718 743 735 355 352 023 04 × 2 = 0 + 0,023 437 487 470 710 704 046 08;
  • 46) 0,023 437 487 470 710 704 046 08 × 2 = 0 + 0,046 874 974 941 421 408 092 16;
  • 47) 0,046 874 974 941 421 408 092 16 × 2 = 0 + 0,093 749 949 882 842 816 184 32;
  • 48) 0,093 749 949 882 842 816 184 32 × 2 = 0 + 0,187 499 899 765 685 632 368 64;
  • 49) 0,187 499 899 765 685 632 368 64 × 2 = 0 + 0,374 999 799 531 371 264 737 28;
  • 50) 0,374 999 799 531 371 264 737 28 × 2 = 0 + 0,749 999 599 062 742 529 474 56;
  • 51) 0,749 999 599 062 742 529 474 56 × 2 = 1 + 0,499 999 198 125 485 058 949 12;
  • 52) 0,499 999 198 125 485 058 949 12 × 2 = 0 + 0,999 998 396 250 970 117 898 24;
  • 53) 0,999 998 396 250 970 117 898 24 × 2 = 1 + 0,999 996 792 501 940 235 796 48;
  • 54) 0,999 996 792 501 940 235 796 48 × 2 = 1 + 0,999 993 585 003 880 471 592 96;
  • 55) 0,999 993 585 003 880 471 592 96 × 2 = 1 + 0,999 987 170 007 760 943 185 92;
  • 56) 0,999 987 170 007 760 943 185 92 × 2 = 1 + 0,999 974 340 015 521 886 371 84;
  • 57) 0,999 974 340 015 521 886 371 84 × 2 = 1 + 0,999 948 680 031 043 772 743 68;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,048 632 677 916 771 838 155 44(10) =

0,0000 1100 0111 0011 0011 0000 1111 0001 0010 1011 0110 0000 0010 1111 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,048 632 677 916 771 838 155 44(10) =

0,0000 1100 0111 0011 0011 0000 1111 0001 0010 1011 0110 0000 0010 1111 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,048 632 677 916 771 838 155 44(10) =

0,0000 1100 0111 0011 0011 0000 1111 0001 0010 1011 0110 0000 0010 1111 1(2) =

0,0000 1100 0111 0011 0011 0000 1111 0001 0010 1011 0110 0000 0010 1111 1(2) × 20 =

1,1000 1110 0110 0110 0001 1110 0010 0101 0110 1100 0000 0101 1111(2) × 2-5


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -5

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 1110 0110 0110 0001 1110 0010 0101 0110 1100 0000 0101 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-5 + 2(11-1) - 1 =

(-5 + 1 023)(10) =

1 018(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 018 : 2 = 509 + 0;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1018(10) =

011 1111 1010(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 1110 0110 0110 0001 1110 0010 0101 0110 1100 0000 0101 1111 =

1000 1110 0110 0110 0001 1110 0010 0101 0110 1100 0000 0101 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1010

Mantisă (52 biți) =
1000 1110 0110 0110 0001 1110 0010 0101 0110 1100 0000 0101 1111


Numărul zecimal -0,048 632 677 916 771 838 155 44 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1010 - 1000 1110 0110 0110 0001 1110 0010 0101 0110 1100 0000 0101 1111

Distribuie

» Scriere -0,048 632 677 916 771 838 155 61 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100