-0,052 242 339 538 06 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,052 242 339 538 06(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,052 242 339 538 06(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,052 242 339 538 06| = 0,052 242 339 538 06


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,052 242 339 538 06.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,052 242 339 538 06 × 2 = 0 + 0,104 484 679 076 12;
  • 2) 0,104 484 679 076 12 × 2 = 0 + 0,208 969 358 152 24;
  • 3) 0,208 969 358 152 24 × 2 = 0 + 0,417 938 716 304 48;
  • 4) 0,417 938 716 304 48 × 2 = 0 + 0,835 877 432 608 96;
  • 5) 0,835 877 432 608 96 × 2 = 1 + 0,671 754 865 217 92;
  • 6) 0,671 754 865 217 92 × 2 = 1 + 0,343 509 730 435 84;
  • 7) 0,343 509 730 435 84 × 2 = 0 + 0,687 019 460 871 68;
  • 8) 0,687 019 460 871 68 × 2 = 1 + 0,374 038 921 743 36;
  • 9) 0,374 038 921 743 36 × 2 = 0 + 0,748 077 843 486 72;
  • 10) 0,748 077 843 486 72 × 2 = 1 + 0,496 155 686 973 44;
  • 11) 0,496 155 686 973 44 × 2 = 0 + 0,992 311 373 946 88;
  • 12) 0,992 311 373 946 88 × 2 = 1 + 0,984 622 747 893 76;
  • 13) 0,984 622 747 893 76 × 2 = 1 + 0,969 245 495 787 52;
  • 14) 0,969 245 495 787 52 × 2 = 1 + 0,938 490 991 575 04;
  • 15) 0,938 490 991 575 04 × 2 = 1 + 0,876 981 983 150 08;
  • 16) 0,876 981 983 150 08 × 2 = 1 + 0,753 963 966 300 16;
  • 17) 0,753 963 966 300 16 × 2 = 1 + 0,507 927 932 600 32;
  • 18) 0,507 927 932 600 32 × 2 = 1 + 0,015 855 865 200 64;
  • 19) 0,015 855 865 200 64 × 2 = 0 + 0,031 711 730 401 28;
  • 20) 0,031 711 730 401 28 × 2 = 0 + 0,063 423 460 802 56;
  • 21) 0,063 423 460 802 56 × 2 = 0 + 0,126 846 921 605 12;
  • 22) 0,126 846 921 605 12 × 2 = 0 + 0,253 693 843 210 24;
  • 23) 0,253 693 843 210 24 × 2 = 0 + 0,507 387 686 420 48;
  • 24) 0,507 387 686 420 48 × 2 = 1 + 0,014 775 372 840 96;
  • 25) 0,014 775 372 840 96 × 2 = 0 + 0,029 550 745 681 92;
  • 26) 0,029 550 745 681 92 × 2 = 0 + 0,059 101 491 363 84;
  • 27) 0,059 101 491 363 84 × 2 = 0 + 0,118 202 982 727 68;
  • 28) 0,118 202 982 727 68 × 2 = 0 + 0,236 405 965 455 36;
  • 29) 0,236 405 965 455 36 × 2 = 0 + 0,472 811 930 910 72;
  • 30) 0,472 811 930 910 72 × 2 = 0 + 0,945 623 861 821 44;
  • 31) 0,945 623 861 821 44 × 2 = 1 + 0,891 247 723 642 88;
  • 32) 0,891 247 723 642 88 × 2 = 1 + 0,782 495 447 285 76;
  • 33) 0,782 495 447 285 76 × 2 = 1 + 0,564 990 894 571 52;
  • 34) 0,564 990 894 571 52 × 2 = 1 + 0,129 981 789 143 04;
  • 35) 0,129 981 789 143 04 × 2 = 0 + 0,259 963 578 286 08;
  • 36) 0,259 963 578 286 08 × 2 = 0 + 0,519 927 156 572 16;
  • 37) 0,519 927 156 572 16 × 2 = 1 + 0,039 854 313 144 32;
  • 38) 0,039 854 313 144 32 × 2 = 0 + 0,079 708 626 288 64;
  • 39) 0,079 708 626 288 64 × 2 = 0 + 0,159 417 252 577 28;
  • 40) 0,159 417 252 577 28 × 2 = 0 + 0,318 834 505 154 56;
  • 41) 0,318 834 505 154 56 × 2 = 0 + 0,637 669 010 309 12;
  • 42) 0,637 669 010 309 12 × 2 = 1 + 0,275 338 020 618 24;
  • 43) 0,275 338 020 618 24 × 2 = 0 + 0,550 676 041 236 48;
  • 44) 0,550 676 041 236 48 × 2 = 1 + 0,101 352 082 472 96;
  • 45) 0,101 352 082 472 96 × 2 = 0 + 0,202 704 164 945 92;
  • 46) 0,202 704 164 945 92 × 2 = 0 + 0,405 408 329 891 84;
  • 47) 0,405 408 329 891 84 × 2 = 0 + 0,810 816 659 783 68;
  • 48) 0,810 816 659 783 68 × 2 = 1 + 0,621 633 319 567 36;
  • 49) 0,621 633 319 567 36 × 2 = 1 + 0,243 266 639 134 72;
  • 50) 0,243 266 639 134 72 × 2 = 0 + 0,486 533 278 269 44;
  • 51) 0,486 533 278 269 44 × 2 = 0 + 0,973 066 556 538 88;
  • 52) 0,973 066 556 538 88 × 2 = 1 + 0,946 133 113 077 76;
  • 53) 0,946 133 113 077 76 × 2 = 1 + 0,892 266 226 155 52;
  • 54) 0,892 266 226 155 52 × 2 = 1 + 0,784 532 452 311 04;
  • 55) 0,784 532 452 311 04 × 2 = 1 + 0,569 064 904 622 08;
  • 56) 0,569 064 904 622 08 × 2 = 1 + 0,138 129 809 244 16;
  • 57) 0,138 129 809 244 16 × 2 = 0 + 0,276 259 618 488 32;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,052 242 339 538 06(10) =

0,0000 1101 0101 1111 1100 0001 0000 0011 1100 1000 0101 0001 1001 1111 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,052 242 339 538 06(10) =

0,0000 1101 0101 1111 1100 0001 0000 0011 1100 1000 0101 0001 1001 1111 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 5 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,052 242 339 538 06(10) =

0,0000 1101 0101 1111 1100 0001 0000 0011 1100 1000 0101 0001 1001 1111 0(2) =

0,0000 1101 0101 1111 1100 0001 0000 0011 1100 1000 0101 0001 1001 1111 0(2) × 20 =

1,1010 1011 1111 1000 0010 0000 0111 1001 0000 1010 0011 0011 1110(2) × 2-5


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -5

Mantisă (nenormalizată):
1,1010 1011 1111 1000 0010 0000 0111 1001 0000 1010 0011 0011 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-5 + 2(11-1) - 1 =

(-5 + 1 023)(10) =

1 018(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 018 : 2 = 509 + 0;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1018(10) =

011 1111 1010(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1010 1011 1111 1000 0010 0000 0111 1001 0000 1010 0011 0011 1110 =

1010 1011 1111 1000 0010 0000 0111 1001 0000 1010 0011 0011 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1010

Mantisă (52 biți) =
1010 1011 1111 1000 0010 0000 0111 1001 0000 1010 0011 0011 1110


Numărul zecimal -0,052 242 339 538 06 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1010 - 1010 1011 1111 1000 0010 0000 0111 1001 0000 1010 0011 0011 1110

» Scriere -0,052 242 339 538 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 11, 2026 [Noiembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Noiembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100