-0,100 000 000 000 107 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,100 000 000 000 107 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,100 000 000 000 107 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,100 000 000 000 107 1| = 0,100 000 000 000 107 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,100 000 000 000 107 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,100 000 000 000 107 1 × 2 = 0 + 0,200 000 000 000 214 2;
  • 2) 0,200 000 000 000 214 2 × 2 = 0 + 0,400 000 000 000 428 4;
  • 3) 0,400 000 000 000 428 4 × 2 = 0 + 0,800 000 000 000 856 8;
  • 4) 0,800 000 000 000 856 8 × 2 = 1 + 0,600 000 000 001 713 6;
  • 5) 0,600 000 000 001 713 6 × 2 = 1 + 0,200 000 000 003 427 2;
  • 6) 0,200 000 000 003 427 2 × 2 = 0 + 0,400 000 000 006 854 4;
  • 7) 0,400 000 000 006 854 4 × 2 = 0 + 0,800 000 000 013 708 8;
  • 8) 0,800 000 000 013 708 8 × 2 = 1 + 0,600 000 000 027 417 6;
  • 9) 0,600 000 000 027 417 6 × 2 = 1 + 0,200 000 000 054 835 2;
  • 10) 0,200 000 000 054 835 2 × 2 = 0 + 0,400 000 000 109 670 4;
  • 11) 0,400 000 000 109 670 4 × 2 = 0 + 0,800 000 000 219 340 8;
  • 12) 0,800 000 000 219 340 8 × 2 = 1 + 0,600 000 000 438 681 6;
  • 13) 0,600 000 000 438 681 6 × 2 = 1 + 0,200 000 000 877 363 2;
  • 14) 0,200 000 000 877 363 2 × 2 = 0 + 0,400 000 001 754 726 4;
  • 15) 0,400 000 001 754 726 4 × 2 = 0 + 0,800 000 003 509 452 8;
  • 16) 0,800 000 003 509 452 8 × 2 = 1 + 0,600 000 007 018 905 6;
  • 17) 0,600 000 007 018 905 6 × 2 = 1 + 0,200 000 014 037 811 2;
  • 18) 0,200 000 014 037 811 2 × 2 = 0 + 0,400 000 028 075 622 4;
  • 19) 0,400 000 028 075 622 4 × 2 = 0 + 0,800 000 056 151 244 8;
  • 20) 0,800 000 056 151 244 8 × 2 = 1 + 0,600 000 112 302 489 6;
  • 21) 0,600 000 112 302 489 6 × 2 = 1 + 0,200 000 224 604 979 2;
  • 22) 0,200 000 224 604 979 2 × 2 = 0 + 0,400 000 449 209 958 4;
  • 23) 0,400 000 449 209 958 4 × 2 = 0 + 0,800 000 898 419 916 8;
  • 24) 0,800 000 898 419 916 8 × 2 = 1 + 0,600 001 796 839 833 6;
  • 25) 0,600 001 796 839 833 6 × 2 = 1 + 0,200 003 593 679 667 2;
  • 26) 0,200 003 593 679 667 2 × 2 = 0 + 0,400 007 187 359 334 4;
  • 27) 0,400 007 187 359 334 4 × 2 = 0 + 0,800 014 374 718 668 8;
  • 28) 0,800 014 374 718 668 8 × 2 = 1 + 0,600 028 749 437 337 6;
  • 29) 0,600 028 749 437 337 6 × 2 = 1 + 0,200 057 498 874 675 2;
  • 30) 0,200 057 498 874 675 2 × 2 = 0 + 0,400 114 997 749 350 4;
  • 31) 0,400 114 997 749 350 4 × 2 = 0 + 0,800 229 995 498 700 8;
  • 32) 0,800 229 995 498 700 8 × 2 = 1 + 0,600 459 990 997 401 6;
  • 33) 0,600 459 990 997 401 6 × 2 = 1 + 0,200 919 981 994 803 2;
  • 34) 0,200 919 981 994 803 2 × 2 = 0 + 0,401 839 963 989 606 4;
  • 35) 0,401 839 963 989 606 4 × 2 = 0 + 0,803 679 927 979 212 8;
  • 36) 0,803 679 927 979 212 8 × 2 = 1 + 0,607 359 855 958 425 6;
  • 37) 0,607 359 855 958 425 6 × 2 = 1 + 0,214 719 711 916 851 2;
  • 38) 0,214 719 711 916 851 2 × 2 = 0 + 0,429 439 423 833 702 4;
  • 39) 0,429 439 423 833 702 4 × 2 = 0 + 0,858 878 847 667 404 8;
  • 40) 0,858 878 847 667 404 8 × 2 = 1 + 0,717 757 695 334 809 6;
  • 41) 0,717 757 695 334 809 6 × 2 = 1 + 0,435 515 390 669 619 2;
  • 42) 0,435 515 390 669 619 2 × 2 = 0 + 0,871 030 781 339 238 4;
  • 43) 0,871 030 781 339 238 4 × 2 = 1 + 0,742 061 562 678 476 8;
  • 44) 0,742 061 562 678 476 8 × 2 = 1 + 0,484 123 125 356 953 6;
  • 45) 0,484 123 125 356 953 6 × 2 = 0 + 0,968 246 250 713 907 2;
  • 46) 0,968 246 250 713 907 2 × 2 = 1 + 0,936 492 501 427 814 4;
  • 47) 0,936 492 501 427 814 4 × 2 = 1 + 0,872 985 002 855 628 8;
  • 48) 0,872 985 002 855 628 8 × 2 = 1 + 0,745 970 005 711 257 6;
  • 49) 0,745 970 005 711 257 6 × 2 = 1 + 0,491 940 011 422 515 2;
  • 50) 0,491 940 011 422 515 2 × 2 = 0 + 0,983 880 022 845 030 4;
  • 51) 0,983 880 022 845 030 4 × 2 = 1 + 0,967 760 045 690 060 8;
  • 52) 0,967 760 045 690 060 8 × 2 = 1 + 0,935 520 091 380 121 6;
  • 53) 0,935 520 091 380 121 6 × 2 = 1 + 0,871 040 182 760 243 2;
  • 54) 0,871 040 182 760 243 2 × 2 = 1 + 0,742 080 365 520 486 4;
  • 55) 0,742 080 365 520 486 4 × 2 = 1 + 0,484 160 731 040 972 8;
  • 56) 0,484 160 731 040 972 8 × 2 = 0 + 0,968 321 462 081 945 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,100 000 000 000 107 1(10) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1011 0111 1011 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,100 000 000 000 107 1(10) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1011 0111 1011 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,100 000 000 000 107 1(10) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1011 0111 1011 1110(2) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1011 0111 1011 1110(2) × 20 =

1,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1011 0111 1011 1110(2) × 2-4


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -4

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1011 0111 1011 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-4 + 2(11-1) - 1 =

(-4 + 1 023)(10) =

1 019(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 019 : 2 = 509 + 1;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1019(10) =

011 1111 1011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1011 0111 1011 1110 =

1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1011 0111 1011 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1011

Mantisă (52 biți) =
1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1011 0111 1011 1110


Numărul zecimal -0,100 000 000 000 107 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1011 - 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1011 0111 1011 1110

Distribuie

» Scriere -0,100 000 000 000 101 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100