-0,100 000 000 003 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,100 000 000 003 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,100 000 000 003 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,100 000 000 003 2| = 0,100 000 000 003 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,100 000 000 003 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,100 000 000 003 2 × 2 = 0 + 0,200 000 000 006 4;
  • 2) 0,200 000 000 006 4 × 2 = 0 + 0,400 000 000 012 8;
  • 3) 0,400 000 000 012 8 × 2 = 0 + 0,800 000 000 025 6;
  • 4) 0,800 000 000 025 6 × 2 = 1 + 0,600 000 000 051 2;
  • 5) 0,600 000 000 051 2 × 2 = 1 + 0,200 000 000 102 4;
  • 6) 0,200 000 000 102 4 × 2 = 0 + 0,400 000 000 204 8;
  • 7) 0,400 000 000 204 8 × 2 = 0 + 0,800 000 000 409 6;
  • 8) 0,800 000 000 409 6 × 2 = 1 + 0,600 000 000 819 2;
  • 9) 0,600 000 000 819 2 × 2 = 1 + 0,200 000 001 638 4;
  • 10) 0,200 000 001 638 4 × 2 = 0 + 0,400 000 003 276 8;
  • 11) 0,400 000 003 276 8 × 2 = 0 + 0,800 000 006 553 6;
  • 12) 0,800 000 006 553 6 × 2 = 1 + 0,600 000 013 107 2;
  • 13) 0,600 000 013 107 2 × 2 = 1 + 0,200 000 026 214 4;
  • 14) 0,200 000 026 214 4 × 2 = 0 + 0,400 000 052 428 8;
  • 15) 0,400 000 052 428 8 × 2 = 0 + 0,800 000 104 857 6;
  • 16) 0,800 000 104 857 6 × 2 = 1 + 0,600 000 209 715 2;
  • 17) 0,600 000 209 715 2 × 2 = 1 + 0,200 000 419 430 4;
  • 18) 0,200 000 419 430 4 × 2 = 0 + 0,400 000 838 860 8;
  • 19) 0,400 000 838 860 8 × 2 = 0 + 0,800 001 677 721 6;
  • 20) 0,800 001 677 721 6 × 2 = 1 + 0,600 003 355 443 2;
  • 21) 0,600 003 355 443 2 × 2 = 1 + 0,200 006 710 886 4;
  • 22) 0,200 006 710 886 4 × 2 = 0 + 0,400 013 421 772 8;
  • 23) 0,400 013 421 772 8 × 2 = 0 + 0,800 026 843 545 6;
  • 24) 0,800 026 843 545 6 × 2 = 1 + 0,600 053 687 091 2;
  • 25) 0,600 053 687 091 2 × 2 = 1 + 0,200 107 374 182 4;
  • 26) 0,200 107 374 182 4 × 2 = 0 + 0,400 214 748 364 8;
  • 27) 0,400 214 748 364 8 × 2 = 0 + 0,800 429 496 729 6;
  • 28) 0,800 429 496 729 6 × 2 = 1 + 0,600 858 993 459 2;
  • 29) 0,600 858 993 459 2 × 2 = 1 + 0,201 717 986 918 4;
  • 30) 0,201 717 986 918 4 × 2 = 0 + 0,403 435 973 836 8;
  • 31) 0,403 435 973 836 8 × 2 = 0 + 0,806 871 947 673 6;
  • 32) 0,806 871 947 673 6 × 2 = 1 + 0,613 743 895 347 2;
  • 33) 0,613 743 895 347 2 × 2 = 1 + 0,227 487 790 694 4;
  • 34) 0,227 487 790 694 4 × 2 = 0 + 0,454 975 581 388 8;
  • 35) 0,454 975 581 388 8 × 2 = 0 + 0,909 951 162 777 6;
  • 36) 0,909 951 162 777 6 × 2 = 1 + 0,819 902 325 555 2;
  • 37) 0,819 902 325 555 2 × 2 = 1 + 0,639 804 651 110 4;
  • 38) 0,639 804 651 110 4 × 2 = 1 + 0,279 609 302 220 8;
  • 39) 0,279 609 302 220 8 × 2 = 0 + 0,559 218 604 441 6;
  • 40) 0,559 218 604 441 6 × 2 = 1 + 0,118 437 208 883 2;
  • 41) 0,118 437 208 883 2 × 2 = 0 + 0,236 874 417 766 4;
  • 42) 0,236 874 417 766 4 × 2 = 0 + 0,473 748 835 532 8;
  • 43) 0,473 748 835 532 8 × 2 = 0 + 0,947 497 671 065 6;
  • 44) 0,947 497 671 065 6 × 2 = 1 + 0,894 995 342 131 2;
  • 45) 0,894 995 342 131 2 × 2 = 1 + 0,789 990 684 262 4;
  • 46) 0,789 990 684 262 4 × 2 = 1 + 0,579 981 368 524 8;
  • 47) 0,579 981 368 524 8 × 2 = 1 + 0,159 962 737 049 6;
  • 48) 0,159 962 737 049 6 × 2 = 0 + 0,319 925 474 099 2;
  • 49) 0,319 925 474 099 2 × 2 = 0 + 0,639 850 948 198 4;
  • 50) 0,639 850 948 198 4 × 2 = 1 + 0,279 701 896 396 8;
  • 51) 0,279 701 896 396 8 × 2 = 0 + 0,559 403 792 793 6;
  • 52) 0,559 403 792 793 6 × 2 = 1 + 0,118 807 585 587 2;
  • 53) 0,118 807 585 587 2 × 2 = 0 + 0,237 615 171 174 4;
  • 54) 0,237 615 171 174 4 × 2 = 0 + 0,475 230 342 348 8;
  • 55) 0,475 230 342 348 8 × 2 = 0 + 0,950 460 684 697 6;
  • 56) 0,950 460 684 697 6 × 2 = 1 + 0,900 921 369 395 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,100 000 000 003 2(10) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1101 0001 1110 0101 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,100 000 000 003 2(10) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1101 0001 1110 0101 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,100 000 000 003 2(10) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1101 0001 1110 0101 0001(2) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1101 0001 1110 0101 0001(2) × 20 =

1,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1101 0001 1110 0101 0001(2) × 2-4


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -4

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1101 0001 1110 0101 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-4 + 2(11-1) - 1 =

(-4 + 1 023)(10) =

1 019(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 019 : 2 = 509 + 1;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1019(10) =

011 1111 1011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1101 0001 1110 0101 0001 =

1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1101 0001 1110 0101 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1011

Mantisă (52 biți) =
1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1101 0001 1110 0101 0001


Numărul zecimal -0,100 000 000 003 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1011 - 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1101 0001 1110 0101 0001

» Scriere -0,100 000 000 000 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100