-0,100 000 000 005 61 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,100 000 000 005 61(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,100 000 000 005 61(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,100 000 000 005 61| = 0,100 000 000 005 61


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,100 000 000 005 61.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,100 000 000 005 61 × 2 = 0 + 0,200 000 000 011 22;
  • 2) 0,200 000 000 011 22 × 2 = 0 + 0,400 000 000 022 44;
  • 3) 0,400 000 000 022 44 × 2 = 0 + 0,800 000 000 044 88;
  • 4) 0,800 000 000 044 88 × 2 = 1 + 0,600 000 000 089 76;
  • 5) 0,600 000 000 089 76 × 2 = 1 + 0,200 000 000 179 52;
  • 6) 0,200 000 000 179 52 × 2 = 0 + 0,400 000 000 359 04;
  • 7) 0,400 000 000 359 04 × 2 = 0 + 0,800 000 000 718 08;
  • 8) 0,800 000 000 718 08 × 2 = 1 + 0,600 000 001 436 16;
  • 9) 0,600 000 001 436 16 × 2 = 1 + 0,200 000 002 872 32;
  • 10) 0,200 000 002 872 32 × 2 = 0 + 0,400 000 005 744 64;
  • 11) 0,400 000 005 744 64 × 2 = 0 + 0,800 000 011 489 28;
  • 12) 0,800 000 011 489 28 × 2 = 1 + 0,600 000 022 978 56;
  • 13) 0,600 000 022 978 56 × 2 = 1 + 0,200 000 045 957 12;
  • 14) 0,200 000 045 957 12 × 2 = 0 + 0,400 000 091 914 24;
  • 15) 0,400 000 091 914 24 × 2 = 0 + 0,800 000 183 828 48;
  • 16) 0,800 000 183 828 48 × 2 = 1 + 0,600 000 367 656 96;
  • 17) 0,600 000 367 656 96 × 2 = 1 + 0,200 000 735 313 92;
  • 18) 0,200 000 735 313 92 × 2 = 0 + 0,400 001 470 627 84;
  • 19) 0,400 001 470 627 84 × 2 = 0 + 0,800 002 941 255 68;
  • 20) 0,800 002 941 255 68 × 2 = 1 + 0,600 005 882 511 36;
  • 21) 0,600 005 882 511 36 × 2 = 1 + 0,200 011 765 022 72;
  • 22) 0,200 011 765 022 72 × 2 = 0 + 0,400 023 530 045 44;
  • 23) 0,400 023 530 045 44 × 2 = 0 + 0,800 047 060 090 88;
  • 24) 0,800 047 060 090 88 × 2 = 1 + 0,600 094 120 181 76;
  • 25) 0,600 094 120 181 76 × 2 = 1 + 0,200 188 240 363 52;
  • 26) 0,200 188 240 363 52 × 2 = 0 + 0,400 376 480 727 04;
  • 27) 0,400 376 480 727 04 × 2 = 0 + 0,800 752 961 454 08;
  • 28) 0,800 752 961 454 08 × 2 = 1 + 0,601 505 922 908 16;
  • 29) 0,601 505 922 908 16 × 2 = 1 + 0,203 011 845 816 32;
  • 30) 0,203 011 845 816 32 × 2 = 0 + 0,406 023 691 632 64;
  • 31) 0,406 023 691 632 64 × 2 = 0 + 0,812 047 383 265 28;
  • 32) 0,812 047 383 265 28 × 2 = 1 + 0,624 094 766 530 56;
  • 33) 0,624 094 766 530 56 × 2 = 1 + 0,248 189 533 061 12;
  • 34) 0,248 189 533 061 12 × 2 = 0 + 0,496 379 066 122 24;
  • 35) 0,496 379 066 122 24 × 2 = 0 + 0,992 758 132 244 48;
  • 36) 0,992 758 132 244 48 × 2 = 1 + 0,985 516 264 488 96;
  • 37) 0,985 516 264 488 96 × 2 = 1 + 0,971 032 528 977 92;
  • 38) 0,971 032 528 977 92 × 2 = 1 + 0,942 065 057 955 84;
  • 39) 0,942 065 057 955 84 × 2 = 1 + 0,884 130 115 911 68;
  • 40) 0,884 130 115 911 68 × 2 = 1 + 0,768 260 231 823 36;
  • 41) 0,768 260 231 823 36 × 2 = 1 + 0,536 520 463 646 72;
  • 42) 0,536 520 463 646 72 × 2 = 1 + 0,073 040 927 293 44;
  • 43) 0,073 040 927 293 44 × 2 = 0 + 0,146 081 854 586 88;
  • 44) 0,146 081 854 586 88 × 2 = 0 + 0,292 163 709 173 76;
  • 45) 0,292 163 709 173 76 × 2 = 0 + 0,584 327 418 347 52;
  • 46) 0,584 327 418 347 52 × 2 = 1 + 0,168 654 836 695 04;
  • 47) 0,168 654 836 695 04 × 2 = 0 + 0,337 309 673 390 08;
  • 48) 0,337 309 673 390 08 × 2 = 0 + 0,674 619 346 780 16;
  • 49) 0,674 619 346 780 16 × 2 = 1 + 0,349 238 693 560 32;
  • 50) 0,349 238 693 560 32 × 2 = 0 + 0,698 477 387 120 64;
  • 51) 0,698 477 387 120 64 × 2 = 1 + 0,396 954 774 241 28;
  • 52) 0,396 954 774 241 28 × 2 = 0 + 0,793 909 548 482 56;
  • 53) 0,793 909 548 482 56 × 2 = 1 + 0,587 819 096 965 12;
  • 54) 0,587 819 096 965 12 × 2 = 1 + 0,175 638 193 930 24;
  • 55) 0,175 638 193 930 24 × 2 = 0 + 0,351 276 387 860 48;
  • 56) 0,351 276 387 860 48 × 2 = 0 + 0,702 552 775 720 96;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,100 000 000 005 61(10) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1111 1100 0100 1010 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,100 000 000 005 61(10) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1111 1100 0100 1010 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,100 000 000 005 61(10) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1111 1100 0100 1010 1100(2) =

0,0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1111 1100 0100 1010 1100(2) × 20 =

1,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1111 1100 0100 1010 1100(2) × 2-4


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -4

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1111 1100 0100 1010 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-4 + 2(11-1) - 1 =

(-4 + 1 023)(10) =

1 019(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 019 : 2 = 509 + 1;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1019(10) =

011 1111 1011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1111 1100 0100 1010 1100 =

1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1111 1100 0100 1010 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1011

Mantisă (52 biți) =
1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1111 1100 0100 1010 1100


Numărul zecimal -0,100 000 000 005 61 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1011 - 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1111 1100 0100 1010 1100

» Scriere -0,100 000 000 006 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100