-0,104 999 999 996 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,104 999 999 996 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,104 999 999 996 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,104 999 999 996 1| = 0,104 999 999 996 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,104 999 999 996 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,104 999 999 996 1 × 2 = 0 + 0,209 999 999 992 2;
  • 2) 0,209 999 999 992 2 × 2 = 0 + 0,419 999 999 984 4;
  • 3) 0,419 999 999 984 4 × 2 = 0 + 0,839 999 999 968 8;
  • 4) 0,839 999 999 968 8 × 2 = 1 + 0,679 999 999 937 6;
  • 5) 0,679 999 999 937 6 × 2 = 1 + 0,359 999 999 875 2;
  • 6) 0,359 999 999 875 2 × 2 = 0 + 0,719 999 999 750 4;
  • 7) 0,719 999 999 750 4 × 2 = 1 + 0,439 999 999 500 8;
  • 8) 0,439 999 999 500 8 × 2 = 0 + 0,879 999 999 001 6;
  • 9) 0,879 999 999 001 6 × 2 = 1 + 0,759 999 998 003 2;
  • 10) 0,759 999 998 003 2 × 2 = 1 + 0,519 999 996 006 4;
  • 11) 0,519 999 996 006 4 × 2 = 1 + 0,039 999 992 012 8;
  • 12) 0,039 999 992 012 8 × 2 = 0 + 0,079 999 984 025 6;
  • 13) 0,079 999 984 025 6 × 2 = 0 + 0,159 999 968 051 2;
  • 14) 0,159 999 968 051 2 × 2 = 0 + 0,319 999 936 102 4;
  • 15) 0,319 999 936 102 4 × 2 = 0 + 0,639 999 872 204 8;
  • 16) 0,639 999 872 204 8 × 2 = 1 + 0,279 999 744 409 6;
  • 17) 0,279 999 744 409 6 × 2 = 0 + 0,559 999 488 819 2;
  • 18) 0,559 999 488 819 2 × 2 = 1 + 0,119 998 977 638 4;
  • 19) 0,119 998 977 638 4 × 2 = 0 + 0,239 997 955 276 8;
  • 20) 0,239 997 955 276 8 × 2 = 0 + 0,479 995 910 553 6;
  • 21) 0,479 995 910 553 6 × 2 = 0 + 0,959 991 821 107 2;
  • 22) 0,959 991 821 107 2 × 2 = 1 + 0,919 983 642 214 4;
  • 23) 0,919 983 642 214 4 × 2 = 1 + 0,839 967 284 428 8;
  • 24) 0,839 967 284 428 8 × 2 = 1 + 0,679 934 568 857 6;
  • 25) 0,679 934 568 857 6 × 2 = 1 + 0,359 869 137 715 2;
  • 26) 0,359 869 137 715 2 × 2 = 0 + 0,719 738 275 430 4;
  • 27) 0,719 738 275 430 4 × 2 = 1 + 0,439 476 550 860 8;
  • 28) 0,439 476 550 860 8 × 2 = 0 + 0,878 953 101 721 6;
  • 29) 0,878 953 101 721 6 × 2 = 1 + 0,757 906 203 443 2;
  • 30) 0,757 906 203 443 2 × 2 = 1 + 0,515 812 406 886 4;
  • 31) 0,515 812 406 886 4 × 2 = 1 + 0,031 624 813 772 8;
  • 32) 0,031 624 813 772 8 × 2 = 0 + 0,063 249 627 545 6;
  • 33) 0,063 249 627 545 6 × 2 = 0 + 0,126 499 255 091 2;
  • 34) 0,126 499 255 091 2 × 2 = 0 + 0,252 998 510 182 4;
  • 35) 0,252 998 510 182 4 × 2 = 0 + 0,505 997 020 364 8;
  • 36) 0,505 997 020 364 8 × 2 = 1 + 0,011 994 040 729 6;
  • 37) 0,011 994 040 729 6 × 2 = 0 + 0,023 988 081 459 2;
  • 38) 0,023 988 081 459 2 × 2 = 0 + 0,047 976 162 918 4;
  • 39) 0,047 976 162 918 4 × 2 = 0 + 0,095 952 325 836 8;
  • 40) 0,095 952 325 836 8 × 2 = 0 + 0,191 904 651 673 6;
  • 41) 0,191 904 651 673 6 × 2 = 0 + 0,383 809 303 347 2;
  • 42) 0,383 809 303 347 2 × 2 = 0 + 0,767 618 606 694 4;
  • 43) 0,767 618 606 694 4 × 2 = 1 + 0,535 237 213 388 8;
  • 44) 0,535 237 213 388 8 × 2 = 1 + 0,070 474 426 777 6;
  • 45) 0,070 474 426 777 6 × 2 = 0 + 0,140 948 853 555 2;
  • 46) 0,140 948 853 555 2 × 2 = 0 + 0,281 897 707 110 4;
  • 47) 0,281 897 707 110 4 × 2 = 0 + 0,563 795 414 220 8;
  • 48) 0,563 795 414 220 8 × 2 = 1 + 0,127 590 828 441 6;
  • 49) 0,127 590 828 441 6 × 2 = 0 + 0,255 181 656 883 2;
  • 50) 0,255 181 656 883 2 × 2 = 0 + 0,510 363 313 766 4;
  • 51) 0,510 363 313 766 4 × 2 = 1 + 0,020 726 627 532 8;
  • 52) 0,020 726 627 532 8 × 2 = 0 + 0,041 453 255 065 6;
  • 53) 0,041 453 255 065 6 × 2 = 0 + 0,082 906 510 131 2;
  • 54) 0,082 906 510 131 2 × 2 = 0 + 0,165 813 020 262 4;
  • 55) 0,165 813 020 262 4 × 2 = 0 + 0,331 626 040 524 8;
  • 56) 0,331 626 040 524 8 × 2 = 0 + 0,663 252 081 049 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,104 999 999 996 1(10) =

0,0001 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0000 0011 0001 0010 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,104 999 999 996 1(10) =

0,0001 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0000 0011 0001 0010 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,104 999 999 996 1(10) =

0,0001 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0000 0011 0001 0010 0000(2) =

0,0001 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0000 0011 0001 0010 0000(2) × 20 =

1,1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0000 0011 0001 0010 0000(2) × 2-4


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -4

Mantisă (nenormalizată):
1,1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0000 0011 0001 0010 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-4 + 2(11-1) - 1 =

(-4 + 1 023)(10) =

1 019(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 019 : 2 = 509 + 1;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1019(10) =

011 1111 1011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0000 0011 0001 0010 0000 =

1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0000 0011 0001 0010 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1011

Mantisă (52 biți) =
1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0000 0011 0001 0010 0000


Numărul zecimal -0,104 999 999 996 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1011 - 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0000 0011 0001 0010 0000

Distribuie

» Scriere -0,104 999 999 999 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100