-0,105 000 000 005 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,105 000 000 005 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,105 000 000 005 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,105 000 000 005 3| = 0,105 000 000 005 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,105 000 000 005 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,105 000 000 005 3 × 2 = 0 + 0,210 000 000 010 6;
  • 2) 0,210 000 000 010 6 × 2 = 0 + 0,420 000 000 021 2;
  • 3) 0,420 000 000 021 2 × 2 = 0 + 0,840 000 000 042 4;
  • 4) 0,840 000 000 042 4 × 2 = 1 + 0,680 000 000 084 8;
  • 5) 0,680 000 000 084 8 × 2 = 1 + 0,360 000 000 169 6;
  • 6) 0,360 000 000 169 6 × 2 = 0 + 0,720 000 000 339 2;
  • 7) 0,720 000 000 339 2 × 2 = 1 + 0,440 000 000 678 4;
  • 8) 0,440 000 000 678 4 × 2 = 0 + 0,880 000 001 356 8;
  • 9) 0,880 000 001 356 8 × 2 = 1 + 0,760 000 002 713 6;
  • 10) 0,760 000 002 713 6 × 2 = 1 + 0,520 000 005 427 2;
  • 11) 0,520 000 005 427 2 × 2 = 1 + 0,040 000 010 854 4;
  • 12) 0,040 000 010 854 4 × 2 = 0 + 0,080 000 021 708 8;
  • 13) 0,080 000 021 708 8 × 2 = 0 + 0,160 000 043 417 6;
  • 14) 0,160 000 043 417 6 × 2 = 0 + 0,320 000 086 835 2;
  • 15) 0,320 000 086 835 2 × 2 = 0 + 0,640 000 173 670 4;
  • 16) 0,640 000 173 670 4 × 2 = 1 + 0,280 000 347 340 8;
  • 17) 0,280 000 347 340 8 × 2 = 0 + 0,560 000 694 681 6;
  • 18) 0,560 000 694 681 6 × 2 = 1 + 0,120 001 389 363 2;
  • 19) 0,120 001 389 363 2 × 2 = 0 + 0,240 002 778 726 4;
  • 20) 0,240 002 778 726 4 × 2 = 0 + 0,480 005 557 452 8;
  • 21) 0,480 005 557 452 8 × 2 = 0 + 0,960 011 114 905 6;
  • 22) 0,960 011 114 905 6 × 2 = 1 + 0,920 022 229 811 2;
  • 23) 0,920 022 229 811 2 × 2 = 1 + 0,840 044 459 622 4;
  • 24) 0,840 044 459 622 4 × 2 = 1 + 0,680 088 919 244 8;
  • 25) 0,680 088 919 244 8 × 2 = 1 + 0,360 177 838 489 6;
  • 26) 0,360 177 838 489 6 × 2 = 0 + 0,720 355 676 979 2;
  • 27) 0,720 355 676 979 2 × 2 = 1 + 0,440 711 353 958 4;
  • 28) 0,440 711 353 958 4 × 2 = 0 + 0,881 422 707 916 8;
  • 29) 0,881 422 707 916 8 × 2 = 1 + 0,762 845 415 833 6;
  • 30) 0,762 845 415 833 6 × 2 = 1 + 0,525 690 831 667 2;
  • 31) 0,525 690 831 667 2 × 2 = 1 + 0,051 381 663 334 4;
  • 32) 0,051 381 663 334 4 × 2 = 0 + 0,102 763 326 668 8;
  • 33) 0,102 763 326 668 8 × 2 = 0 + 0,205 526 653 337 6;
  • 34) 0,205 526 653 337 6 × 2 = 0 + 0,411 053 306 675 2;
  • 35) 0,411 053 306 675 2 × 2 = 0 + 0,822 106 613 350 4;
  • 36) 0,822 106 613 350 4 × 2 = 1 + 0,644 213 226 700 8;
  • 37) 0,644 213 226 700 8 × 2 = 1 + 0,288 426 453 401 6;
  • 38) 0,288 426 453 401 6 × 2 = 0 + 0,576 852 906 803 2;
  • 39) 0,576 852 906 803 2 × 2 = 1 + 0,153 705 813 606 4;
  • 40) 0,153 705 813 606 4 × 2 = 0 + 0,307 411 627 212 8;
  • 41) 0,307 411 627 212 8 × 2 = 0 + 0,614 823 254 425 6;
  • 42) 0,614 823 254 425 6 × 2 = 1 + 0,229 646 508 851 2;
  • 43) 0,229 646 508 851 2 × 2 = 0 + 0,459 293 017 702 4;
  • 44) 0,459 293 017 702 4 × 2 = 0 + 0,918 586 035 404 8;
  • 45) 0,918 586 035 404 8 × 2 = 1 + 0,837 172 070 809 6;
  • 46) 0,837 172 070 809 6 × 2 = 1 + 0,674 344 141 619 2;
  • 47) 0,674 344 141 619 2 × 2 = 1 + 0,348 688 283 238 4;
  • 48) 0,348 688 283 238 4 × 2 = 0 + 0,697 376 566 476 8;
  • 49) 0,697 376 566 476 8 × 2 = 1 + 0,394 753 132 953 6;
  • 50) 0,394 753 132 953 6 × 2 = 0 + 0,789 506 265 907 2;
  • 51) 0,789 506 265 907 2 × 2 = 1 + 0,579 012 531 814 4;
  • 52) 0,579 012 531 814 4 × 2 = 1 + 0,158 025 063 628 8;
  • 53) 0,158 025 063 628 8 × 2 = 0 + 0,316 050 127 257 6;
  • 54) 0,316 050 127 257 6 × 2 = 0 + 0,632 100 254 515 2;
  • 55) 0,632 100 254 515 2 × 2 = 1 + 0,264 200 509 030 4;
  • 56) 0,264 200 509 030 4 × 2 = 0 + 0,528 401 018 060 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,105 000 000 005 3(10) =

0,0001 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 1010 0100 1110 1011 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,105 000 000 005 3(10) =

0,0001 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 1010 0100 1110 1011 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,105 000 000 005 3(10) =

0,0001 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 1010 0100 1110 1011 0010(2) =

0,0001 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 1010 0100 1110 1011 0010(2) × 20 =

1,1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 1010 0100 1110 1011 0010(2) × 2-4


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -4

Mantisă (nenormalizată):
1,1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 1010 0100 1110 1011 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-4 + 2(11-1) - 1 =

(-4 + 1 023)(10) =

1 019(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 019 : 2 = 509 + 1;
  • 509 : 2 = 254 + 1;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1019(10) =

011 1111 1011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 1010 0100 1110 1011 0010 =

1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 1010 0100 1110 1011 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1011

Mantisă (52 biți) =
1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 1010 0100 1110 1011 0010


Numărul zecimal -0,105 000 000 005 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1011 - 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 1010 0100 1110 1011 0010

Distribuie

» Scriere -0,105 000 000 011 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100