-0,132 664 276 015 06 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,132 664 276 015 06(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,132 664 276 015 06(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,132 664 276 015 06| = 0,132 664 276 015 06


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,132 664 276 015 06.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,132 664 276 015 06 × 2 = 0 + 0,265 328 552 030 12;
  • 2) 0,265 328 552 030 12 × 2 = 0 + 0,530 657 104 060 24;
  • 3) 0,530 657 104 060 24 × 2 = 1 + 0,061 314 208 120 48;
  • 4) 0,061 314 208 120 48 × 2 = 0 + 0,122 628 416 240 96;
  • 5) 0,122 628 416 240 96 × 2 = 0 + 0,245 256 832 481 92;
  • 6) 0,245 256 832 481 92 × 2 = 0 + 0,490 513 664 963 84;
  • 7) 0,490 513 664 963 84 × 2 = 0 + 0,981 027 329 927 68;
  • 8) 0,981 027 329 927 68 × 2 = 1 + 0,962 054 659 855 36;
  • 9) 0,962 054 659 855 36 × 2 = 1 + 0,924 109 319 710 72;
  • 10) 0,924 109 319 710 72 × 2 = 1 + 0,848 218 639 421 44;
  • 11) 0,848 218 639 421 44 × 2 = 1 + 0,696 437 278 842 88;
  • 12) 0,696 437 278 842 88 × 2 = 1 + 0,392 874 557 685 76;
  • 13) 0,392 874 557 685 76 × 2 = 0 + 0,785 749 115 371 52;
  • 14) 0,785 749 115 371 52 × 2 = 1 + 0,571 498 230 743 04;
  • 15) 0,571 498 230 743 04 × 2 = 1 + 0,142 996 461 486 08;
  • 16) 0,142 996 461 486 08 × 2 = 0 + 0,285 992 922 972 16;
  • 17) 0,285 992 922 972 16 × 2 = 0 + 0,571 985 845 944 32;
  • 18) 0,571 985 845 944 32 × 2 = 1 + 0,143 971 691 888 64;
  • 19) 0,143 971 691 888 64 × 2 = 0 + 0,287 943 383 777 28;
  • 20) 0,287 943 383 777 28 × 2 = 0 + 0,575 886 767 554 56;
  • 21) 0,575 886 767 554 56 × 2 = 1 + 0,151 773 535 109 12;
  • 22) 0,151 773 535 109 12 × 2 = 0 + 0,303 547 070 218 24;
  • 23) 0,303 547 070 218 24 × 2 = 0 + 0,607 094 140 436 48;
  • 24) 0,607 094 140 436 48 × 2 = 1 + 0,214 188 280 872 96;
  • 25) 0,214 188 280 872 96 × 2 = 0 + 0,428 376 561 745 92;
  • 26) 0,428 376 561 745 92 × 2 = 0 + 0,856 753 123 491 84;
  • 27) 0,856 753 123 491 84 × 2 = 1 + 0,713 506 246 983 68;
  • 28) 0,713 506 246 983 68 × 2 = 1 + 0,427 012 493 967 36;
  • 29) 0,427 012 493 967 36 × 2 = 0 + 0,854 024 987 934 72;
  • 30) 0,854 024 987 934 72 × 2 = 1 + 0,708 049 975 869 44;
  • 31) 0,708 049 975 869 44 × 2 = 1 + 0,416 099 951 738 88;
  • 32) 0,416 099 951 738 88 × 2 = 0 + 0,832 199 903 477 76;
  • 33) 0,832 199 903 477 76 × 2 = 1 + 0,664 399 806 955 52;
  • 34) 0,664 399 806 955 52 × 2 = 1 + 0,328 799 613 911 04;
  • 35) 0,328 799 613 911 04 × 2 = 0 + 0,657 599 227 822 08;
  • 36) 0,657 599 227 822 08 × 2 = 1 + 0,315 198 455 644 16;
  • 37) 0,315 198 455 644 16 × 2 = 0 + 0,630 396 911 288 32;
  • 38) 0,630 396 911 288 32 × 2 = 1 + 0,260 793 822 576 64;
  • 39) 0,260 793 822 576 64 × 2 = 0 + 0,521 587 645 153 28;
  • 40) 0,521 587 645 153 28 × 2 = 1 + 0,043 175 290 306 56;
  • 41) 0,043 175 290 306 56 × 2 = 0 + 0,086 350 580 613 12;
  • 42) 0,086 350 580 613 12 × 2 = 0 + 0,172 701 161 226 24;
  • 43) 0,172 701 161 226 24 × 2 = 0 + 0,345 402 322 452 48;
  • 44) 0,345 402 322 452 48 × 2 = 0 + 0,690 804 644 904 96;
  • 45) 0,690 804 644 904 96 × 2 = 1 + 0,381 609 289 809 92;
  • 46) 0,381 609 289 809 92 × 2 = 0 + 0,763 218 579 619 84;
  • 47) 0,763 218 579 619 84 × 2 = 1 + 0,526 437 159 239 68;
  • 48) 0,526 437 159 239 68 × 2 = 1 + 0,052 874 318 479 36;
  • 49) 0,052 874 318 479 36 × 2 = 0 + 0,105 748 636 958 72;
  • 50) 0,105 748 636 958 72 × 2 = 0 + 0,211 497 273 917 44;
  • 51) 0,211 497 273 917 44 × 2 = 0 + 0,422 994 547 834 88;
  • 52) 0,422 994 547 834 88 × 2 = 0 + 0,845 989 095 669 76;
  • 53) 0,845 989 095 669 76 × 2 = 1 + 0,691 978 191 339 52;
  • 54) 0,691 978 191 339 52 × 2 = 1 + 0,383 956 382 679 04;
  • 55) 0,383 956 382 679 04 × 2 = 0 + 0,767 912 765 358 08;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,132 664 276 015 06(10) =

0,0010 0001 1111 0110 0100 1001 0011 0110 1101 0101 0000 1011 0000 110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,132 664 276 015 06(10) =

0,0010 0001 1111 0110 0100 1001 0011 0110 1101 0101 0000 1011 0000 110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,132 664 276 015 06(10) =

0,0010 0001 1111 0110 0100 1001 0011 0110 1101 0101 0000 1011 0000 110(2) =

0,0010 0001 1111 0110 0100 1001 0011 0110 1101 0101 0000 1011 0000 110(2) × 20 =

1,0000 1111 1011 0010 0100 1001 1011 0110 1010 1000 0101 1000 0110(2) × 2-3


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -3

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 1111 1011 0010 0100 1001 1011 0110 1010 1000 0101 1000 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-3 + 2(11-1) - 1 =

(-3 + 1 023)(10) =

1 020(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 020 : 2 = 510 + 0;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1020(10) =

011 1111 1100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 1111 1011 0010 0100 1001 1011 0110 1010 1000 0101 1000 0110 =

0000 1111 1011 0010 0100 1001 1011 0110 1010 1000 0101 1000 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1100

Mantisă (52 biți) =
0000 1111 1011 0010 0100 1001 1011 0110 1010 1000 0101 1000 0110


Numărul zecimal -0,132 664 276 015 06 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1100 - 0000 1111 1011 0010 0100 1001 1011 0110 1010 1000 0101 1000 0110

Distribuie

» Scriere -0,132 664 276 014 36 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100