-0,140 000 000 011 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,140 000 000 011 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,140 000 000 011 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,140 000 000 011 9| = 0,140 000 000 011 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,140 000 000 011 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,140 000 000 011 9 × 2 = 0 + 0,280 000 000 023 8;
  • 2) 0,280 000 000 023 8 × 2 = 0 + 0,560 000 000 047 6;
  • 3) 0,560 000 000 047 6 × 2 = 1 + 0,120 000 000 095 2;
  • 4) 0,120 000 000 095 2 × 2 = 0 + 0,240 000 000 190 4;
  • 5) 0,240 000 000 190 4 × 2 = 0 + 0,480 000 000 380 8;
  • 6) 0,480 000 000 380 8 × 2 = 0 + 0,960 000 000 761 6;
  • 7) 0,960 000 000 761 6 × 2 = 1 + 0,920 000 001 523 2;
  • 8) 0,920 000 001 523 2 × 2 = 1 + 0,840 000 003 046 4;
  • 9) 0,840 000 003 046 4 × 2 = 1 + 0,680 000 006 092 8;
  • 10) 0,680 000 006 092 8 × 2 = 1 + 0,360 000 012 185 6;
  • 11) 0,360 000 012 185 6 × 2 = 0 + 0,720 000 024 371 2;
  • 12) 0,720 000 024 371 2 × 2 = 1 + 0,440 000 048 742 4;
  • 13) 0,440 000 048 742 4 × 2 = 0 + 0,880 000 097 484 8;
  • 14) 0,880 000 097 484 8 × 2 = 1 + 0,760 000 194 969 6;
  • 15) 0,760 000 194 969 6 × 2 = 1 + 0,520 000 389 939 2;
  • 16) 0,520 000 389 939 2 × 2 = 1 + 0,040 000 779 878 4;
  • 17) 0,040 000 779 878 4 × 2 = 0 + 0,080 001 559 756 8;
  • 18) 0,080 001 559 756 8 × 2 = 0 + 0,160 003 119 513 6;
  • 19) 0,160 003 119 513 6 × 2 = 0 + 0,320 006 239 027 2;
  • 20) 0,320 006 239 027 2 × 2 = 0 + 0,640 012 478 054 4;
  • 21) 0,640 012 478 054 4 × 2 = 1 + 0,280 024 956 108 8;
  • 22) 0,280 024 956 108 8 × 2 = 0 + 0,560 049 912 217 6;
  • 23) 0,560 049 912 217 6 × 2 = 1 + 0,120 099 824 435 2;
  • 24) 0,120 099 824 435 2 × 2 = 0 + 0,240 199 648 870 4;
  • 25) 0,240 199 648 870 4 × 2 = 0 + 0,480 399 297 740 8;
  • 26) 0,480 399 297 740 8 × 2 = 0 + 0,960 798 595 481 6;
  • 27) 0,960 798 595 481 6 × 2 = 1 + 0,921 597 190 963 2;
  • 28) 0,921 597 190 963 2 × 2 = 1 + 0,843 194 381 926 4;
  • 29) 0,843 194 381 926 4 × 2 = 1 + 0,686 388 763 852 8;
  • 30) 0,686 388 763 852 8 × 2 = 1 + 0,372 777 527 705 6;
  • 31) 0,372 777 527 705 6 × 2 = 0 + 0,745 555 055 411 2;
  • 32) 0,745 555 055 411 2 × 2 = 1 + 0,491 110 110 822 4;
  • 33) 0,491 110 110 822 4 × 2 = 0 + 0,982 220 221 644 8;
  • 34) 0,982 220 221 644 8 × 2 = 1 + 0,964 440 443 289 6;
  • 35) 0,964 440 443 289 6 × 2 = 1 + 0,928 880 886 579 2;
  • 36) 0,928 880 886 579 2 × 2 = 1 + 0,857 761 773 158 4;
  • 37) 0,857 761 773 158 4 × 2 = 1 + 0,715 523 546 316 8;
  • 38) 0,715 523 546 316 8 × 2 = 1 + 0,431 047 092 633 6;
  • 39) 0,431 047 092 633 6 × 2 = 0 + 0,862 094 185 267 2;
  • 40) 0,862 094 185 267 2 × 2 = 1 + 0,724 188 370 534 4;
  • 41) 0,724 188 370 534 4 × 2 = 1 + 0,448 376 741 068 8;
  • 42) 0,448 376 741 068 8 × 2 = 0 + 0,896 753 482 137 6;
  • 43) 0,896 753 482 137 6 × 2 = 1 + 0,793 506 964 275 2;
  • 44) 0,793 506 964 275 2 × 2 = 1 + 0,587 013 928 550 4;
  • 45) 0,587 013 928 550 4 × 2 = 1 + 0,174 027 857 100 8;
  • 46) 0,174 027 857 100 8 × 2 = 0 + 0,348 055 714 201 6;
  • 47) 0,348 055 714 201 6 × 2 = 0 + 0,696 111 428 403 2;
  • 48) 0,696 111 428 403 2 × 2 = 1 + 0,392 222 856 806 4;
  • 49) 0,392 222 856 806 4 × 2 = 0 + 0,784 445 713 612 8;
  • 50) 0,784 445 713 612 8 × 2 = 1 + 0,568 891 427 225 6;
  • 51) 0,568 891 427 225 6 × 2 = 1 + 0,137 782 854 451 2;
  • 52) 0,137 782 854 451 2 × 2 = 0 + 0,275 565 708 902 4;
  • 53) 0,275 565 708 902 4 × 2 = 0 + 0,551 131 417 804 8;
  • 54) 0,551 131 417 804 8 × 2 = 1 + 0,102 262 835 609 6;
  • 55) 0,102 262 835 609 6 × 2 = 0 + 0,204 525 671 219 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,140 000 000 011 9(10) =

0,0010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0111 1101 1011 1001 0110 010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,140 000 000 011 9(10) =

0,0010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0111 1101 1011 1001 0110 010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,140 000 000 011 9(10) =

0,0010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0111 1101 1011 1001 0110 010(2) =

0,0010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0111 1101 1011 1001 0110 010(2) × 20 =

1,0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1110 1101 1100 1011 0010(2) × 2-3


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -3

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1110 1101 1100 1011 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-3 + 2(11-1) - 1 =

(-3 + 1 023)(10) =

1 020(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 020 : 2 = 510 + 0;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1020(10) =

011 1111 1100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1110 1101 1100 1011 0010 =

0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1110 1101 1100 1011 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1100

Mantisă (52 biți) =
0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1110 1101 1100 1011 0010


Numărul zecimal -0,140 000 000 011 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1100 - 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1110 1101 1100 1011 0010

Distribuie

» Scriere -0,140 000 000 007 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100