-0,145 067 813 487 901 050 584 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,145 067 813 487 901 050 584(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,145 067 813 487 901 050 584(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,145 067 813 487 901 050 584| = 0,145 067 813 487 901 050 584


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,145 067 813 487 901 050 584.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,145 067 813 487 901 050 584 × 2 = 0 + 0,290 135 626 975 802 101 168;
  • 2) 0,290 135 626 975 802 101 168 × 2 = 0 + 0,580 271 253 951 604 202 336;
  • 3) 0,580 271 253 951 604 202 336 × 2 = 1 + 0,160 542 507 903 208 404 672;
  • 4) 0,160 542 507 903 208 404 672 × 2 = 0 + 0,321 085 015 806 416 809 344;
  • 5) 0,321 085 015 806 416 809 344 × 2 = 0 + 0,642 170 031 612 833 618 688;
  • 6) 0,642 170 031 612 833 618 688 × 2 = 1 + 0,284 340 063 225 667 237 376;
  • 7) 0,284 340 063 225 667 237 376 × 2 = 0 + 0,568 680 126 451 334 474 752;
  • 8) 0,568 680 126 451 334 474 752 × 2 = 1 + 0,137 360 252 902 668 949 504;
  • 9) 0,137 360 252 902 668 949 504 × 2 = 0 + 0,274 720 505 805 337 899 008;
  • 10) 0,274 720 505 805 337 899 008 × 2 = 0 + 0,549 441 011 610 675 798 016;
  • 11) 0,549 441 011 610 675 798 016 × 2 = 1 + 0,098 882 023 221 351 596 032;
  • 12) 0,098 882 023 221 351 596 032 × 2 = 0 + 0,197 764 046 442 703 192 064;
  • 13) 0,197 764 046 442 703 192 064 × 2 = 0 + 0,395 528 092 885 406 384 128;
  • 14) 0,395 528 092 885 406 384 128 × 2 = 0 + 0,791 056 185 770 812 768 256;
  • 15) 0,791 056 185 770 812 768 256 × 2 = 1 + 0,582 112 371 541 625 536 512;
  • 16) 0,582 112 371 541 625 536 512 × 2 = 1 + 0,164 224 743 083 251 073 024;
  • 17) 0,164 224 743 083 251 073 024 × 2 = 0 + 0,328 449 486 166 502 146 048;
  • 18) 0,328 449 486 166 502 146 048 × 2 = 0 + 0,656 898 972 333 004 292 096;
  • 19) 0,656 898 972 333 004 292 096 × 2 = 1 + 0,313 797 944 666 008 584 192;
  • 20) 0,313 797 944 666 008 584 192 × 2 = 0 + 0,627 595 889 332 017 168 384;
  • 21) 0,627 595 889 332 017 168 384 × 2 = 1 + 0,255 191 778 664 034 336 768;
  • 22) 0,255 191 778 664 034 336 768 × 2 = 0 + 0,510 383 557 328 068 673 536;
  • 23) 0,510 383 557 328 068 673 536 × 2 = 1 + 0,020 767 114 656 137 347 072;
  • 24) 0,020 767 114 656 137 347 072 × 2 = 0 + 0,041 534 229 312 274 694 144;
  • 25) 0,041 534 229 312 274 694 144 × 2 = 0 + 0,083 068 458 624 549 388 288;
  • 26) 0,083 068 458 624 549 388 288 × 2 = 0 + 0,166 136 917 249 098 776 576;
  • 27) 0,166 136 917 249 098 776 576 × 2 = 0 + 0,332 273 834 498 197 553 152;
  • 28) 0,332 273 834 498 197 553 152 × 2 = 0 + 0,664 547 668 996 395 106 304;
  • 29) 0,664 547 668 996 395 106 304 × 2 = 1 + 0,329 095 337 992 790 212 608;
  • 30) 0,329 095 337 992 790 212 608 × 2 = 0 + 0,658 190 675 985 580 425 216;
  • 31) 0,658 190 675 985 580 425 216 × 2 = 1 + 0,316 381 351 971 160 850 432;
  • 32) 0,316 381 351 971 160 850 432 × 2 = 0 + 0,632 762 703 942 321 700 864;
  • 33) 0,632 762 703 942 321 700 864 × 2 = 1 + 0,265 525 407 884 643 401 728;
  • 34) 0,265 525 407 884 643 401 728 × 2 = 0 + 0,531 050 815 769 286 803 456;
  • 35) 0,531 050 815 769 286 803 456 × 2 = 1 + 0,062 101 631 538 573 606 912;
  • 36) 0,062 101 631 538 573 606 912 × 2 = 0 + 0,124 203 263 077 147 213 824;
  • 37) 0,124 203 263 077 147 213 824 × 2 = 0 + 0,248 406 526 154 294 427 648;
  • 38) 0,248 406 526 154 294 427 648 × 2 = 0 + 0,496 813 052 308 588 855 296;
  • 39) 0,496 813 052 308 588 855 296 × 2 = 0 + 0,993 626 104 617 177 710 592;
  • 40) 0,993 626 104 617 177 710 592 × 2 = 1 + 0,987 252 209 234 355 421 184;
  • 41) 0,987 252 209 234 355 421 184 × 2 = 1 + 0,974 504 418 468 710 842 368;
  • 42) 0,974 504 418 468 710 842 368 × 2 = 1 + 0,949 008 836 937 421 684 736;
  • 43) 0,949 008 836 937 421 684 736 × 2 = 1 + 0,898 017 673 874 843 369 472;
  • 44) 0,898 017 673 874 843 369 472 × 2 = 1 + 0,796 035 347 749 686 738 944;
  • 45) 0,796 035 347 749 686 738 944 × 2 = 1 + 0,592 070 695 499 373 477 888;
  • 46) 0,592 070 695 499 373 477 888 × 2 = 1 + 0,184 141 390 998 746 955 776;
  • 47) 0,184 141 390 998 746 955 776 × 2 = 0 + 0,368 282 781 997 493 911 552;
  • 48) 0,368 282 781 997 493 911 552 × 2 = 0 + 0,736 565 563 994 987 823 104;
  • 49) 0,736 565 563 994 987 823 104 × 2 = 1 + 0,473 131 127 989 975 646 208;
  • 50) 0,473 131 127 989 975 646 208 × 2 = 0 + 0,946 262 255 979 951 292 416;
  • 51) 0,946 262 255 979 951 292 416 × 2 = 1 + 0,892 524 511 959 902 584 832;
  • 52) 0,892 524 511 959 902 584 832 × 2 = 1 + 0,785 049 023 919 805 169 664;
  • 53) 0,785 049 023 919 805 169 664 × 2 = 1 + 0,570 098 047 839 610 339 328;
  • 54) 0,570 098 047 839 610 339 328 × 2 = 1 + 0,140 196 095 679 220 678 656;
  • 55) 0,140 196 095 679 220 678 656 × 2 = 0 + 0,280 392 191 358 441 357 312;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,145 067 813 487 901 050 584(10) =

0,0010 0101 0010 0011 0010 1010 0000 1010 1010 0001 1111 1100 1011 110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,145 067 813 487 901 050 584(10) =

0,0010 0101 0010 0011 0010 1010 0000 1010 1010 0001 1111 1100 1011 110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,145 067 813 487 901 050 584(10) =

0,0010 0101 0010 0011 0010 1010 0000 1010 1010 0001 1111 1100 1011 110(2) =

0,0010 0101 0010 0011 0010 1010 0000 1010 1010 0001 1111 1100 1011 110(2) × 20 =

1,0010 1001 0001 1001 0101 0000 0101 0101 0000 1111 1110 0101 1110(2) × 2-3


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -3

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1001 0001 1001 0101 0000 0101 0101 0000 1111 1110 0101 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-3 + 2(11-1) - 1 =

(-3 + 1 023)(10) =

1 020(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 020 : 2 = 510 + 0;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1020(10) =

011 1111 1100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1001 0001 1001 0101 0000 0101 0101 0000 1111 1110 0101 1110 =

0010 1001 0001 1001 0101 0000 0101 0101 0000 1111 1110 0101 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1100

Mantisă (52 biți) =
0010 1001 0001 1001 0101 0000 0101 0101 0000 1111 1110 0101 1110


Numărul zecimal -0,145 067 813 487 901 050 584 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1100 - 0010 1001 0001 1001 0101 0000 0101 0101 0000 1111 1110 0101 1110

Distribuie

» Scriere -0,145 067 813 487 901 050 657 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100