-0,145 067 813 487 901 050 666 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,145 067 813 487 901 050 666(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,145 067 813 487 901 050 666(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,145 067 813 487 901 050 666| = 0,145 067 813 487 901 050 666


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,145 067 813 487 901 050 666.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,145 067 813 487 901 050 666 × 2 = 0 + 0,290 135 626 975 802 101 332;
  • 2) 0,290 135 626 975 802 101 332 × 2 = 0 + 0,580 271 253 951 604 202 664;
  • 3) 0,580 271 253 951 604 202 664 × 2 = 1 + 0,160 542 507 903 208 405 328;
  • 4) 0,160 542 507 903 208 405 328 × 2 = 0 + 0,321 085 015 806 416 810 656;
  • 5) 0,321 085 015 806 416 810 656 × 2 = 0 + 0,642 170 031 612 833 621 312;
  • 6) 0,642 170 031 612 833 621 312 × 2 = 1 + 0,284 340 063 225 667 242 624;
  • 7) 0,284 340 063 225 667 242 624 × 2 = 0 + 0,568 680 126 451 334 485 248;
  • 8) 0,568 680 126 451 334 485 248 × 2 = 1 + 0,137 360 252 902 668 970 496;
  • 9) 0,137 360 252 902 668 970 496 × 2 = 0 + 0,274 720 505 805 337 940 992;
  • 10) 0,274 720 505 805 337 940 992 × 2 = 0 + 0,549 441 011 610 675 881 984;
  • 11) 0,549 441 011 610 675 881 984 × 2 = 1 + 0,098 882 023 221 351 763 968;
  • 12) 0,098 882 023 221 351 763 968 × 2 = 0 + 0,197 764 046 442 703 527 936;
  • 13) 0,197 764 046 442 703 527 936 × 2 = 0 + 0,395 528 092 885 407 055 872;
  • 14) 0,395 528 092 885 407 055 872 × 2 = 0 + 0,791 056 185 770 814 111 744;
  • 15) 0,791 056 185 770 814 111 744 × 2 = 1 + 0,582 112 371 541 628 223 488;
  • 16) 0,582 112 371 541 628 223 488 × 2 = 1 + 0,164 224 743 083 256 446 976;
  • 17) 0,164 224 743 083 256 446 976 × 2 = 0 + 0,328 449 486 166 512 893 952;
  • 18) 0,328 449 486 166 512 893 952 × 2 = 0 + 0,656 898 972 333 025 787 904;
  • 19) 0,656 898 972 333 025 787 904 × 2 = 1 + 0,313 797 944 666 051 575 808;
  • 20) 0,313 797 944 666 051 575 808 × 2 = 0 + 0,627 595 889 332 103 151 616;
  • 21) 0,627 595 889 332 103 151 616 × 2 = 1 + 0,255 191 778 664 206 303 232;
  • 22) 0,255 191 778 664 206 303 232 × 2 = 0 + 0,510 383 557 328 412 606 464;
  • 23) 0,510 383 557 328 412 606 464 × 2 = 1 + 0,020 767 114 656 825 212 928;
  • 24) 0,020 767 114 656 825 212 928 × 2 = 0 + 0,041 534 229 313 650 425 856;
  • 25) 0,041 534 229 313 650 425 856 × 2 = 0 + 0,083 068 458 627 300 851 712;
  • 26) 0,083 068 458 627 300 851 712 × 2 = 0 + 0,166 136 917 254 601 703 424;
  • 27) 0,166 136 917 254 601 703 424 × 2 = 0 + 0,332 273 834 509 203 406 848;
  • 28) 0,332 273 834 509 203 406 848 × 2 = 0 + 0,664 547 669 018 406 813 696;
  • 29) 0,664 547 669 018 406 813 696 × 2 = 1 + 0,329 095 338 036 813 627 392;
  • 30) 0,329 095 338 036 813 627 392 × 2 = 0 + 0,658 190 676 073 627 254 784;
  • 31) 0,658 190 676 073 627 254 784 × 2 = 1 + 0,316 381 352 147 254 509 568;
  • 32) 0,316 381 352 147 254 509 568 × 2 = 0 + 0,632 762 704 294 509 019 136;
  • 33) 0,632 762 704 294 509 019 136 × 2 = 1 + 0,265 525 408 589 018 038 272;
  • 34) 0,265 525 408 589 018 038 272 × 2 = 0 + 0,531 050 817 178 036 076 544;
  • 35) 0,531 050 817 178 036 076 544 × 2 = 1 + 0,062 101 634 356 072 153 088;
  • 36) 0,062 101 634 356 072 153 088 × 2 = 0 + 0,124 203 268 712 144 306 176;
  • 37) 0,124 203 268 712 144 306 176 × 2 = 0 + 0,248 406 537 424 288 612 352;
  • 38) 0,248 406 537 424 288 612 352 × 2 = 0 + 0,496 813 074 848 577 224 704;
  • 39) 0,496 813 074 848 577 224 704 × 2 = 0 + 0,993 626 149 697 154 449 408;
  • 40) 0,993 626 149 697 154 449 408 × 2 = 1 + 0,987 252 299 394 308 898 816;
  • 41) 0,987 252 299 394 308 898 816 × 2 = 1 + 0,974 504 598 788 617 797 632;
  • 42) 0,974 504 598 788 617 797 632 × 2 = 1 + 0,949 009 197 577 235 595 264;
  • 43) 0,949 009 197 577 235 595 264 × 2 = 1 + 0,898 018 395 154 471 190 528;
  • 44) 0,898 018 395 154 471 190 528 × 2 = 1 + 0,796 036 790 308 942 381 056;
  • 45) 0,796 036 790 308 942 381 056 × 2 = 1 + 0,592 073 580 617 884 762 112;
  • 46) 0,592 073 580 617 884 762 112 × 2 = 1 + 0,184 147 161 235 769 524 224;
  • 47) 0,184 147 161 235 769 524 224 × 2 = 0 + 0,368 294 322 471 539 048 448;
  • 48) 0,368 294 322 471 539 048 448 × 2 = 0 + 0,736 588 644 943 078 096 896;
  • 49) 0,736 588 644 943 078 096 896 × 2 = 1 + 0,473 177 289 886 156 193 792;
  • 50) 0,473 177 289 886 156 193 792 × 2 = 0 + 0,946 354 579 772 312 387 584;
  • 51) 0,946 354 579 772 312 387 584 × 2 = 1 + 0,892 709 159 544 624 775 168;
  • 52) 0,892 709 159 544 624 775 168 × 2 = 1 + 0,785 418 319 089 249 550 336;
  • 53) 0,785 418 319 089 249 550 336 × 2 = 1 + 0,570 836 638 178 499 100 672;
  • 54) 0,570 836 638 178 499 100 672 × 2 = 1 + 0,141 673 276 356 998 201 344;
  • 55) 0,141 673 276 356 998 201 344 × 2 = 0 + 0,283 346 552 713 996 402 688;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,145 067 813 487 901 050 666(10) =

0,0010 0101 0010 0011 0010 1010 0000 1010 1010 0001 1111 1100 1011 110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,145 067 813 487 901 050 666(10) =

0,0010 0101 0010 0011 0010 1010 0000 1010 1010 0001 1111 1100 1011 110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,145 067 813 487 901 050 666(10) =

0,0010 0101 0010 0011 0010 1010 0000 1010 1010 0001 1111 1100 1011 110(2) =

0,0010 0101 0010 0011 0010 1010 0000 1010 1010 0001 1111 1100 1011 110(2) × 20 =

1,0010 1001 0001 1001 0101 0000 0101 0101 0000 1111 1110 0101 1110(2) × 2-3


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -3

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1001 0001 1001 0101 0000 0101 0101 0000 1111 1110 0101 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-3 + 2(11-1) - 1 =

(-3 + 1 023)(10) =

1 020(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 020 : 2 = 510 + 0;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1020(10) =

011 1111 1100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1001 0001 1001 0101 0000 0101 0101 0000 1111 1110 0101 1110 =

0010 1001 0001 1001 0101 0000 0101 0101 0000 1111 1110 0101 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1100

Mantisă (52 biți) =
0010 1001 0001 1001 0101 0000 0101 0101 0000 1111 1110 0101 1110


Numărul zecimal -0,145 067 813 487 901 050 666 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1100 - 0010 1001 0001 1001 0101 0000 0101 0101 0000 1111 1110 0101 1110

Distribuie

» Scriere -0,145 067 813 487 901 050 57 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100