-0,145 067 813 487 901 050 859 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,145 067 813 487 901 050 859 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,145 067 813 487 901 050 859 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,145 067 813 487 901 050 859 9| = 0,145 067 813 487 901 050 859 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,145 067 813 487 901 050 859 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,145 067 813 487 901 050 859 9 × 2 = 0 + 0,290 135 626 975 802 101 719 8;
  • 2) 0,290 135 626 975 802 101 719 8 × 2 = 0 + 0,580 271 253 951 604 203 439 6;
  • 3) 0,580 271 253 951 604 203 439 6 × 2 = 1 + 0,160 542 507 903 208 406 879 2;
  • 4) 0,160 542 507 903 208 406 879 2 × 2 = 0 + 0,321 085 015 806 416 813 758 4;
  • 5) 0,321 085 015 806 416 813 758 4 × 2 = 0 + 0,642 170 031 612 833 627 516 8;
  • 6) 0,642 170 031 612 833 627 516 8 × 2 = 1 + 0,284 340 063 225 667 255 033 6;
  • 7) 0,284 340 063 225 667 255 033 6 × 2 = 0 + 0,568 680 126 451 334 510 067 2;
  • 8) 0,568 680 126 451 334 510 067 2 × 2 = 1 + 0,137 360 252 902 669 020 134 4;
  • 9) 0,137 360 252 902 669 020 134 4 × 2 = 0 + 0,274 720 505 805 338 040 268 8;
  • 10) 0,274 720 505 805 338 040 268 8 × 2 = 0 + 0,549 441 011 610 676 080 537 6;
  • 11) 0,549 441 011 610 676 080 537 6 × 2 = 1 + 0,098 882 023 221 352 161 075 2;
  • 12) 0,098 882 023 221 352 161 075 2 × 2 = 0 + 0,197 764 046 442 704 322 150 4;
  • 13) 0,197 764 046 442 704 322 150 4 × 2 = 0 + 0,395 528 092 885 408 644 300 8;
  • 14) 0,395 528 092 885 408 644 300 8 × 2 = 0 + 0,791 056 185 770 817 288 601 6;
  • 15) 0,791 056 185 770 817 288 601 6 × 2 = 1 + 0,582 112 371 541 634 577 203 2;
  • 16) 0,582 112 371 541 634 577 203 2 × 2 = 1 + 0,164 224 743 083 269 154 406 4;
  • 17) 0,164 224 743 083 269 154 406 4 × 2 = 0 + 0,328 449 486 166 538 308 812 8;
  • 18) 0,328 449 486 166 538 308 812 8 × 2 = 0 + 0,656 898 972 333 076 617 625 6;
  • 19) 0,656 898 972 333 076 617 625 6 × 2 = 1 + 0,313 797 944 666 153 235 251 2;
  • 20) 0,313 797 944 666 153 235 251 2 × 2 = 0 + 0,627 595 889 332 306 470 502 4;
  • 21) 0,627 595 889 332 306 470 502 4 × 2 = 1 + 0,255 191 778 664 612 941 004 8;
  • 22) 0,255 191 778 664 612 941 004 8 × 2 = 0 + 0,510 383 557 329 225 882 009 6;
  • 23) 0,510 383 557 329 225 882 009 6 × 2 = 1 + 0,020 767 114 658 451 764 019 2;
  • 24) 0,020 767 114 658 451 764 019 2 × 2 = 0 + 0,041 534 229 316 903 528 038 4;
  • 25) 0,041 534 229 316 903 528 038 4 × 2 = 0 + 0,083 068 458 633 807 056 076 8;
  • 26) 0,083 068 458 633 807 056 076 8 × 2 = 0 + 0,166 136 917 267 614 112 153 6;
  • 27) 0,166 136 917 267 614 112 153 6 × 2 = 0 + 0,332 273 834 535 228 224 307 2;
  • 28) 0,332 273 834 535 228 224 307 2 × 2 = 0 + 0,664 547 669 070 456 448 614 4;
  • 29) 0,664 547 669 070 456 448 614 4 × 2 = 1 + 0,329 095 338 140 912 897 228 8;
  • 30) 0,329 095 338 140 912 897 228 8 × 2 = 0 + 0,658 190 676 281 825 794 457 6;
  • 31) 0,658 190 676 281 825 794 457 6 × 2 = 1 + 0,316 381 352 563 651 588 915 2;
  • 32) 0,316 381 352 563 651 588 915 2 × 2 = 0 + 0,632 762 705 127 303 177 830 4;
  • 33) 0,632 762 705 127 303 177 830 4 × 2 = 1 + 0,265 525 410 254 606 355 660 8;
  • 34) 0,265 525 410 254 606 355 660 8 × 2 = 0 + 0,531 050 820 509 212 711 321 6;
  • 35) 0,531 050 820 509 212 711 321 6 × 2 = 1 + 0,062 101 641 018 425 422 643 2;
  • 36) 0,062 101 641 018 425 422 643 2 × 2 = 0 + 0,124 203 282 036 850 845 286 4;
  • 37) 0,124 203 282 036 850 845 286 4 × 2 = 0 + 0,248 406 564 073 701 690 572 8;
  • 38) 0,248 406 564 073 701 690 572 8 × 2 = 0 + 0,496 813 128 147 403 381 145 6;
  • 39) 0,496 813 128 147 403 381 145 6 × 2 = 0 + 0,993 626 256 294 806 762 291 2;
  • 40) 0,993 626 256 294 806 762 291 2 × 2 = 1 + 0,987 252 512 589 613 524 582 4;
  • 41) 0,987 252 512 589 613 524 582 4 × 2 = 1 + 0,974 505 025 179 227 049 164 8;
  • 42) 0,974 505 025 179 227 049 164 8 × 2 = 1 + 0,949 010 050 358 454 098 329 6;
  • 43) 0,949 010 050 358 454 098 329 6 × 2 = 1 + 0,898 020 100 716 908 196 659 2;
  • 44) 0,898 020 100 716 908 196 659 2 × 2 = 1 + 0,796 040 201 433 816 393 318 4;
  • 45) 0,796 040 201 433 816 393 318 4 × 2 = 1 + 0,592 080 402 867 632 786 636 8;
  • 46) 0,592 080 402 867 632 786 636 8 × 2 = 1 + 0,184 160 805 735 265 573 273 6;
  • 47) 0,184 160 805 735 265 573 273 6 × 2 = 0 + 0,368 321 611 470 531 146 547 2;
  • 48) 0,368 321 611 470 531 146 547 2 × 2 = 0 + 0,736 643 222 941 062 293 094 4;
  • 49) 0,736 643 222 941 062 293 094 4 × 2 = 1 + 0,473 286 445 882 124 586 188 8;
  • 50) 0,473 286 445 882 124 586 188 8 × 2 = 0 + 0,946 572 891 764 249 172 377 6;
  • 51) 0,946 572 891 764 249 172 377 6 × 2 = 1 + 0,893 145 783 528 498 344 755 2;
  • 52) 0,893 145 783 528 498 344 755 2 × 2 = 1 + 0,786 291 567 056 996 689 510 4;
  • 53) 0,786 291 567 056 996 689 510 4 × 2 = 1 + 0,572 583 134 113 993 379 020 8;
  • 54) 0,572 583 134 113 993 379 020 8 × 2 = 1 + 0,145 166 268 227 986 758 041 6;
  • 55) 0,145 166 268 227 986 758 041 6 × 2 = 0 + 0,290 332 536 455 973 516 083 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,145 067 813 487 901 050 859 9(10) =

0,0010 0101 0010 0011 0010 1010 0000 1010 1010 0001 1111 1100 1011 110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,145 067 813 487 901 050 859 9(10) =

0,0010 0101 0010 0011 0010 1010 0000 1010 1010 0001 1111 1100 1011 110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,145 067 813 487 901 050 859 9(10) =

0,0010 0101 0010 0011 0010 1010 0000 1010 1010 0001 1111 1100 1011 110(2) =

0,0010 0101 0010 0011 0010 1010 0000 1010 1010 0001 1111 1100 1011 110(2) × 20 =

1,0010 1001 0001 1001 0101 0000 0101 0101 0000 1111 1110 0101 1110(2) × 2-3


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -3

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1001 0001 1001 0101 0000 0101 0101 0000 1111 1110 0101 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-3 + 2(11-1) - 1 =

(-3 + 1 023)(10) =

1 020(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 020 : 2 = 510 + 0;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1020(10) =

011 1111 1100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1001 0001 1001 0101 0000 0101 0101 0000 1111 1110 0101 1110 =

0010 1001 0001 1001 0101 0000 0101 0101 0000 1111 1110 0101 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1100

Mantisă (52 biți) =
0010 1001 0001 1001 0101 0000 0101 0101 0000 1111 1110 0101 1110


Numărul zecimal -0,145 067 813 487 901 050 859 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1100 - 0010 1001 0001 1001 0101 0000 0101 0101 0000 1111 1110 0101 1110

Distribuie

» Scriere -0,145 067 813 487 901 050 858 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100