-0,235 000 000 021 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,235 000 000 021 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,235 000 000 021 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,235 000 000 021 1| = 0,235 000 000 021 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,235 000 000 021 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,235 000 000 021 1 × 2 = 0 + 0,470 000 000 042 2;
  • 2) 0,470 000 000 042 2 × 2 = 0 + 0,940 000 000 084 4;
  • 3) 0,940 000 000 084 4 × 2 = 1 + 0,880 000 000 168 8;
  • 4) 0,880 000 000 168 8 × 2 = 1 + 0,760 000 000 337 6;
  • 5) 0,760 000 000 337 6 × 2 = 1 + 0,520 000 000 675 2;
  • 6) 0,520 000 000 675 2 × 2 = 1 + 0,040 000 001 350 4;
  • 7) 0,040 000 001 350 4 × 2 = 0 + 0,080 000 002 700 8;
  • 8) 0,080 000 002 700 8 × 2 = 0 + 0,160 000 005 401 6;
  • 9) 0,160 000 005 401 6 × 2 = 0 + 0,320 000 010 803 2;
  • 10) 0,320 000 010 803 2 × 2 = 0 + 0,640 000 021 606 4;
  • 11) 0,640 000 021 606 4 × 2 = 1 + 0,280 000 043 212 8;
  • 12) 0,280 000 043 212 8 × 2 = 0 + 0,560 000 086 425 6;
  • 13) 0,560 000 086 425 6 × 2 = 1 + 0,120 000 172 851 2;
  • 14) 0,120 000 172 851 2 × 2 = 0 + 0,240 000 345 702 4;
  • 15) 0,240 000 345 702 4 × 2 = 0 + 0,480 000 691 404 8;
  • 16) 0,480 000 691 404 8 × 2 = 0 + 0,960 001 382 809 6;
  • 17) 0,960 001 382 809 6 × 2 = 1 + 0,920 002 765 619 2;
  • 18) 0,920 002 765 619 2 × 2 = 1 + 0,840 005 531 238 4;
  • 19) 0,840 005 531 238 4 × 2 = 1 + 0,680 011 062 476 8;
  • 20) 0,680 011 062 476 8 × 2 = 1 + 0,360 022 124 953 6;
  • 21) 0,360 022 124 953 6 × 2 = 0 + 0,720 044 249 907 2;
  • 22) 0,720 044 249 907 2 × 2 = 1 + 0,440 088 499 814 4;
  • 23) 0,440 088 499 814 4 × 2 = 0 + 0,880 176 999 628 8;
  • 24) 0,880 176 999 628 8 × 2 = 1 + 0,760 353 999 257 6;
  • 25) 0,760 353 999 257 6 × 2 = 1 + 0,520 707 998 515 2;
  • 26) 0,520 707 998 515 2 × 2 = 1 + 0,041 415 997 030 4;
  • 27) 0,041 415 997 030 4 × 2 = 0 + 0,082 831 994 060 8;
  • 28) 0,082 831 994 060 8 × 2 = 0 + 0,165 663 988 121 6;
  • 29) 0,165 663 988 121 6 × 2 = 0 + 0,331 327 976 243 2;
  • 30) 0,331 327 976 243 2 × 2 = 0 + 0,662 655 952 486 4;
  • 31) 0,662 655 952 486 4 × 2 = 1 + 0,325 311 904 972 8;
  • 32) 0,325 311 904 972 8 × 2 = 0 + 0,650 623 809 945 6;
  • 33) 0,650 623 809 945 6 × 2 = 1 + 0,301 247 619 891 2;
  • 34) 0,301 247 619 891 2 × 2 = 0 + 0,602 495 239 782 4;
  • 35) 0,602 495 239 782 4 × 2 = 1 + 0,204 990 479 564 8;
  • 36) 0,204 990 479 564 8 × 2 = 0 + 0,409 980 959 129 6;
  • 37) 0,409 980 959 129 6 × 2 = 0 + 0,819 961 918 259 2;
  • 38) 0,819 961 918 259 2 × 2 = 1 + 0,639 923 836 518 4;
  • 39) 0,639 923 836 518 4 × 2 = 1 + 0,279 847 673 036 8;
  • 40) 0,279 847 673 036 8 × 2 = 0 + 0,559 695 346 073 6;
  • 41) 0,559 695 346 073 6 × 2 = 1 + 0,119 390 692 147 2;
  • 42) 0,119 390 692 147 2 × 2 = 0 + 0,238 781 384 294 4;
  • 43) 0,238 781 384 294 4 × 2 = 0 + 0,477 562 768 588 8;
  • 44) 0,477 562 768 588 8 × 2 = 0 + 0,955 125 537 177 6;
  • 45) 0,955 125 537 177 6 × 2 = 1 + 0,910 251 074 355 2;
  • 46) 0,910 251 074 355 2 × 2 = 1 + 0,820 502 148 710 4;
  • 47) 0,820 502 148 710 4 × 2 = 1 + 0,641 004 297 420 8;
  • 48) 0,641 004 297 420 8 × 2 = 1 + 0,282 008 594 841 6;
  • 49) 0,282 008 594 841 6 × 2 = 0 + 0,564 017 189 683 2;
  • 50) 0,564 017 189 683 2 × 2 = 1 + 0,128 034 379 366 4;
  • 51) 0,128 034 379 366 4 × 2 = 0 + 0,256 068 758 732 8;
  • 52) 0,256 068 758 732 8 × 2 = 0 + 0,512 137 517 465 6;
  • 53) 0,512 137 517 465 6 × 2 = 1 + 0,024 275 034 931 2;
  • 54) 0,024 275 034 931 2 × 2 = 0 + 0,048 550 069 862 4;
  • 55) 0,048 550 069 862 4 × 2 = 0 + 0,097 100 139 724 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,235 000 000 021 1(10) =

0,0011 1100 0010 1000 1111 0101 1100 0010 1010 0110 1000 1111 0100 100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,235 000 000 021 1(10) =

0,0011 1100 0010 1000 1111 0101 1100 0010 1010 0110 1000 1111 0100 100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,235 000 000 021 1(10) =

0,0011 1100 0010 1000 1111 0101 1100 0010 1010 0110 1000 1111 0100 100(2) =

0,0011 1100 0010 1000 1111 0101 1100 0010 1010 0110 1000 1111 0100 100(2) × 20 =

1,1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0101 0011 0100 0111 1010 0100(2) × 2-3


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -3

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0101 0011 0100 0111 1010 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-3 + 2(11-1) - 1 =

(-3 + 1 023)(10) =

1 020(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 020 : 2 = 510 + 0;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1020(10) =

011 1111 1100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0101 0011 0100 0111 1010 0100 =

1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0101 0011 0100 0111 1010 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1100

Mantisă (52 biți) =
1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0101 0011 0100 0111 1010 0100


Numărul zecimal -0,235 000 000 021 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1100 - 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0101 0011 0100 0111 1010 0100

» Scriere -0,235 000 000 024 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100