-0,235 000 000 027 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,235 000 000 027 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,235 000 000 027 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,235 000 000 027 6| = 0,235 000 000 027 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,235 000 000 027 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,235 000 000 027 6 × 2 = 0 + 0,470 000 000 055 2;
  • 2) 0,470 000 000 055 2 × 2 = 0 + 0,940 000 000 110 4;
  • 3) 0,940 000 000 110 4 × 2 = 1 + 0,880 000 000 220 8;
  • 4) 0,880 000 000 220 8 × 2 = 1 + 0,760 000 000 441 6;
  • 5) 0,760 000 000 441 6 × 2 = 1 + 0,520 000 000 883 2;
  • 6) 0,520 000 000 883 2 × 2 = 1 + 0,040 000 001 766 4;
  • 7) 0,040 000 001 766 4 × 2 = 0 + 0,080 000 003 532 8;
  • 8) 0,080 000 003 532 8 × 2 = 0 + 0,160 000 007 065 6;
  • 9) 0,160 000 007 065 6 × 2 = 0 + 0,320 000 014 131 2;
  • 10) 0,320 000 014 131 2 × 2 = 0 + 0,640 000 028 262 4;
  • 11) 0,640 000 028 262 4 × 2 = 1 + 0,280 000 056 524 8;
  • 12) 0,280 000 056 524 8 × 2 = 0 + 0,560 000 113 049 6;
  • 13) 0,560 000 113 049 6 × 2 = 1 + 0,120 000 226 099 2;
  • 14) 0,120 000 226 099 2 × 2 = 0 + 0,240 000 452 198 4;
  • 15) 0,240 000 452 198 4 × 2 = 0 + 0,480 000 904 396 8;
  • 16) 0,480 000 904 396 8 × 2 = 0 + 0,960 001 808 793 6;
  • 17) 0,960 001 808 793 6 × 2 = 1 + 0,920 003 617 587 2;
  • 18) 0,920 003 617 587 2 × 2 = 1 + 0,840 007 235 174 4;
  • 19) 0,840 007 235 174 4 × 2 = 1 + 0,680 014 470 348 8;
  • 20) 0,680 014 470 348 8 × 2 = 1 + 0,360 028 940 697 6;
  • 21) 0,360 028 940 697 6 × 2 = 0 + 0,720 057 881 395 2;
  • 22) 0,720 057 881 395 2 × 2 = 1 + 0,440 115 762 790 4;
  • 23) 0,440 115 762 790 4 × 2 = 0 + 0,880 231 525 580 8;
  • 24) 0,880 231 525 580 8 × 2 = 1 + 0,760 463 051 161 6;
  • 25) 0,760 463 051 161 6 × 2 = 1 + 0,520 926 102 323 2;
  • 26) 0,520 926 102 323 2 × 2 = 1 + 0,041 852 204 646 4;
  • 27) 0,041 852 204 646 4 × 2 = 0 + 0,083 704 409 292 8;
  • 28) 0,083 704 409 292 8 × 2 = 0 + 0,167 408 818 585 6;
  • 29) 0,167 408 818 585 6 × 2 = 0 + 0,334 817 637 171 2;
  • 30) 0,334 817 637 171 2 × 2 = 0 + 0,669 635 274 342 4;
  • 31) 0,669 635 274 342 4 × 2 = 1 + 0,339 270 548 684 8;
  • 32) 0,339 270 548 684 8 × 2 = 0 + 0,678 541 097 369 6;
  • 33) 0,678 541 097 369 6 × 2 = 1 + 0,357 082 194 739 2;
  • 34) 0,357 082 194 739 2 × 2 = 0 + 0,714 164 389 478 4;
  • 35) 0,714 164 389 478 4 × 2 = 1 + 0,428 328 778 956 8;
  • 36) 0,428 328 778 956 8 × 2 = 0 + 0,856 657 557 913 6;
  • 37) 0,856 657 557 913 6 × 2 = 1 + 0,713 315 115 827 2;
  • 38) 0,713 315 115 827 2 × 2 = 1 + 0,426 630 231 654 4;
  • 39) 0,426 630 231 654 4 × 2 = 0 + 0,853 260 463 308 8;
  • 40) 0,853 260 463 308 8 × 2 = 1 + 0,706 520 926 617 6;
  • 41) 0,706 520 926 617 6 × 2 = 1 + 0,413 041 853 235 2;
  • 42) 0,413 041 853 235 2 × 2 = 0 + 0,826 083 706 470 4;
  • 43) 0,826 083 706 470 4 × 2 = 1 + 0,652 167 412 940 8;
  • 44) 0,652 167 412 940 8 × 2 = 1 + 0,304 334 825 881 6;
  • 45) 0,304 334 825 881 6 × 2 = 0 + 0,608 669 651 763 2;
  • 46) 0,608 669 651 763 2 × 2 = 1 + 0,217 339 303 526 4;
  • 47) 0,217 339 303 526 4 × 2 = 0 + 0,434 678 607 052 8;
  • 48) 0,434 678 607 052 8 × 2 = 0 + 0,869 357 214 105 6;
  • 49) 0,869 357 214 105 6 × 2 = 1 + 0,738 714 428 211 2;
  • 50) 0,738 714 428 211 2 × 2 = 1 + 0,477 428 856 422 4;
  • 51) 0,477 428 856 422 4 × 2 = 0 + 0,954 857 712 844 8;
  • 52) 0,954 857 712 844 8 × 2 = 1 + 0,909 715 425 689 6;
  • 53) 0,909 715 425 689 6 × 2 = 1 + 0,819 430 851 379 2;
  • 54) 0,819 430 851 379 2 × 2 = 1 + 0,638 861 702 758 4;
  • 55) 0,638 861 702 758 4 × 2 = 1 + 0,277 723 405 516 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,235 000 000 027 6(10) =

0,0011 1100 0010 1000 1111 0101 1100 0010 1010 1101 1011 0100 1101 111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,235 000 000 027 6(10) =

0,0011 1100 0010 1000 1111 0101 1100 0010 1010 1101 1011 0100 1101 111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,235 000 000 027 6(10) =

0,0011 1100 0010 1000 1111 0101 1100 0010 1010 1101 1011 0100 1101 111(2) =

0,0011 1100 0010 1000 1111 0101 1100 0010 1010 1101 1011 0100 1101 111(2) × 20 =

1,1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0101 0110 1101 1010 0110 1111(2) × 2-3


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -3

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0101 0110 1101 1010 0110 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-3 + 2(11-1) - 1 =

(-3 + 1 023)(10) =

1 020(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 020 : 2 = 510 + 0;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1020(10) =

011 1111 1100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0101 0110 1101 1010 0110 1111 =

1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0101 0110 1101 1010 0110 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1100

Mantisă (52 biți) =
1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0101 0110 1101 1010 0110 1111


Numărul zecimal -0,235 000 000 027 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1100 - 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0101 0110 1101 1010 0110 1111

» Scriere -0,235 000 000 025 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100