-0,345 000 000 000 000 53 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,345 000 000 000 000 53(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,345 000 000 000 000 53(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,345 000 000 000 000 53| = 0,345 000 000 000 000 53


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,345 000 000 000 000 53.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,345 000 000 000 000 53 × 2 = 0 + 0,690 000 000 000 001 06;
  • 2) 0,690 000 000 000 001 06 × 2 = 1 + 0,380 000 000 000 002 12;
  • 3) 0,380 000 000 000 002 12 × 2 = 0 + 0,760 000 000 000 004 24;
  • 4) 0,760 000 000 000 004 24 × 2 = 1 + 0,520 000 000 000 008 48;
  • 5) 0,520 000 000 000 008 48 × 2 = 1 + 0,040 000 000 000 016 96;
  • 6) 0,040 000 000 000 016 96 × 2 = 0 + 0,080 000 000 000 033 92;
  • 7) 0,080 000 000 000 033 92 × 2 = 0 + 0,160 000 000 000 067 84;
  • 8) 0,160 000 000 000 067 84 × 2 = 0 + 0,320 000 000 000 135 68;
  • 9) 0,320 000 000 000 135 68 × 2 = 0 + 0,640 000 000 000 271 36;
  • 10) 0,640 000 000 000 271 36 × 2 = 1 + 0,280 000 000 000 542 72;
  • 11) 0,280 000 000 000 542 72 × 2 = 0 + 0,560 000 000 001 085 44;
  • 12) 0,560 000 000 001 085 44 × 2 = 1 + 0,120 000 000 002 170 88;
  • 13) 0,120 000 000 002 170 88 × 2 = 0 + 0,240 000 000 004 341 76;
  • 14) 0,240 000 000 004 341 76 × 2 = 0 + 0,480 000 000 008 683 52;
  • 15) 0,480 000 000 008 683 52 × 2 = 0 + 0,960 000 000 017 367 04;
  • 16) 0,960 000 000 017 367 04 × 2 = 1 + 0,920 000 000 034 734 08;
  • 17) 0,920 000 000 034 734 08 × 2 = 1 + 0,840 000 000 069 468 16;
  • 18) 0,840 000 000 069 468 16 × 2 = 1 + 0,680 000 000 138 936 32;
  • 19) 0,680 000 000 138 936 32 × 2 = 1 + 0,360 000 000 277 872 64;
  • 20) 0,360 000 000 277 872 64 × 2 = 0 + 0,720 000 000 555 745 28;
  • 21) 0,720 000 000 555 745 28 × 2 = 1 + 0,440 000 001 111 490 56;
  • 22) 0,440 000 001 111 490 56 × 2 = 0 + 0,880 000 002 222 981 12;
  • 23) 0,880 000 002 222 981 12 × 2 = 1 + 0,760 000 004 445 962 24;
  • 24) 0,760 000 004 445 962 24 × 2 = 1 + 0,520 000 008 891 924 48;
  • 25) 0,520 000 008 891 924 48 × 2 = 1 + 0,040 000 017 783 848 96;
  • 26) 0,040 000 017 783 848 96 × 2 = 0 + 0,080 000 035 567 697 92;
  • 27) 0,080 000 035 567 697 92 × 2 = 0 + 0,160 000 071 135 395 84;
  • 28) 0,160 000 071 135 395 84 × 2 = 0 + 0,320 000 142 270 791 68;
  • 29) 0,320 000 142 270 791 68 × 2 = 0 + 0,640 000 284 541 583 36;
  • 30) 0,640 000 284 541 583 36 × 2 = 1 + 0,280 000 569 083 166 72;
  • 31) 0,280 000 569 083 166 72 × 2 = 0 + 0,560 001 138 166 333 44;
  • 32) 0,560 001 138 166 333 44 × 2 = 1 + 0,120 002 276 332 666 88;
  • 33) 0,120 002 276 332 666 88 × 2 = 0 + 0,240 004 552 665 333 76;
  • 34) 0,240 004 552 665 333 76 × 2 = 0 + 0,480 009 105 330 667 52;
  • 35) 0,480 009 105 330 667 52 × 2 = 0 + 0,960 018 210 661 335 04;
  • 36) 0,960 018 210 661 335 04 × 2 = 1 + 0,920 036 421 322 670 08;
  • 37) 0,920 036 421 322 670 08 × 2 = 1 + 0,840 072 842 645 340 16;
  • 38) 0,840 072 842 645 340 16 × 2 = 1 + 0,680 145 685 290 680 32;
  • 39) 0,680 145 685 290 680 32 × 2 = 1 + 0,360 291 370 581 360 64;
  • 40) 0,360 291 370 581 360 64 × 2 = 0 + 0,720 582 741 162 721 28;
  • 41) 0,720 582 741 162 721 28 × 2 = 1 + 0,441 165 482 325 442 56;
  • 42) 0,441 165 482 325 442 56 × 2 = 0 + 0,882 330 964 650 885 12;
  • 43) 0,882 330 964 650 885 12 × 2 = 1 + 0,764 661 929 301 770 24;
  • 44) 0,764 661 929 301 770 24 × 2 = 1 + 0,529 323 858 603 540 48;
  • 45) 0,529 323 858 603 540 48 × 2 = 1 + 0,058 647 717 207 080 96;
  • 46) 0,058 647 717 207 080 96 × 2 = 0 + 0,117 295 434 414 161 92;
  • 47) 0,117 295 434 414 161 92 × 2 = 0 + 0,234 590 868 828 323 84;
  • 48) 0,234 590 868 828 323 84 × 2 = 0 + 0,469 181 737 656 647 68;
  • 49) 0,469 181 737 656 647 68 × 2 = 0 + 0,938 363 475 313 295 36;
  • 50) 0,938 363 475 313 295 36 × 2 = 1 + 0,876 726 950 626 590 72;
  • 51) 0,876 726 950 626 590 72 × 2 = 1 + 0,753 453 901 253 181 44;
  • 52) 0,753 453 901 253 181 44 × 2 = 1 + 0,506 907 802 506 362 88;
  • 53) 0,506 907 802 506 362 88 × 2 = 1 + 0,013 815 605 012 725 76;
  • 54) 0,013 815 605 012 725 76 × 2 = 0 + 0,027 631 210 025 451 52;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,345 000 000 000 000 53(10) =

0,0101 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0111 10(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,345 000 000 000 000 53(10) =

0,0101 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0111 10(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,345 000 000 000 000 53(10) =

0,0101 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0111 10(2) =

0,0101 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0111 10(2) × 20 =

1,0110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 1110(2) × 2-2


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -2

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-2 + 2(11-1) - 1 =

(-2 + 1 023)(10) =

1 021(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 021 : 2 = 510 + 1;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1021(10) =

011 1111 1101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 1110 =

0110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1101

Mantisă (52 biți) =
0110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 1110


Numărul zecimal -0,345 000 000 000 000 53 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1101 - 0110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1110 0001 1110

» Scriere -0,345 000 000 000 001 27 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100