-0,365 481 236 16 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,365 481 236 16(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,365 481 236 16(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,365 481 236 16| = 0,365 481 236 16


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,365 481 236 16.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,365 481 236 16 × 2 = 0 + 0,730 962 472 32;
  • 2) 0,730 962 472 32 × 2 = 1 + 0,461 924 944 64;
  • 3) 0,461 924 944 64 × 2 = 0 + 0,923 849 889 28;
  • 4) 0,923 849 889 28 × 2 = 1 + 0,847 699 778 56;
  • 5) 0,847 699 778 56 × 2 = 1 + 0,695 399 557 12;
  • 6) 0,695 399 557 12 × 2 = 1 + 0,390 799 114 24;
  • 7) 0,390 799 114 24 × 2 = 0 + 0,781 598 228 48;
  • 8) 0,781 598 228 48 × 2 = 1 + 0,563 196 456 96;
  • 9) 0,563 196 456 96 × 2 = 1 + 0,126 392 913 92;
  • 10) 0,126 392 913 92 × 2 = 0 + 0,252 785 827 84;
  • 11) 0,252 785 827 84 × 2 = 0 + 0,505 571 655 68;
  • 12) 0,505 571 655 68 × 2 = 1 + 0,011 143 311 36;
  • 13) 0,011 143 311 36 × 2 = 0 + 0,022 286 622 72;
  • 14) 0,022 286 622 72 × 2 = 0 + 0,044 573 245 44;
  • 15) 0,044 573 245 44 × 2 = 0 + 0,089 146 490 88;
  • 16) 0,089 146 490 88 × 2 = 0 + 0,178 292 981 76;
  • 17) 0,178 292 981 76 × 2 = 0 + 0,356 585 963 52;
  • 18) 0,356 585 963 52 × 2 = 0 + 0,713 171 927 04;
  • 19) 0,713 171 927 04 × 2 = 1 + 0,426 343 854 08;
  • 20) 0,426 343 854 08 × 2 = 0 + 0,852 687 708 16;
  • 21) 0,852 687 708 16 × 2 = 1 + 0,705 375 416 32;
  • 22) 0,705 375 416 32 × 2 = 1 + 0,410 750 832 64;
  • 23) 0,410 750 832 64 × 2 = 0 + 0,821 501 665 28;
  • 24) 0,821 501 665 28 × 2 = 1 + 0,643 003 330 56;
  • 25) 0,643 003 330 56 × 2 = 1 + 0,286 006 661 12;
  • 26) 0,286 006 661 12 × 2 = 0 + 0,572 013 322 24;
  • 27) 0,572 013 322 24 × 2 = 1 + 0,144 026 644 48;
  • 28) 0,144 026 644 48 × 2 = 0 + 0,288 053 288 96;
  • 29) 0,288 053 288 96 × 2 = 0 + 0,576 106 577 92;
  • 30) 0,576 106 577 92 × 2 = 1 + 0,152 213 155 84;
  • 31) 0,152 213 155 84 × 2 = 0 + 0,304 426 311 68;
  • 32) 0,304 426 311 68 × 2 = 0 + 0,608 852 623 36;
  • 33) 0,608 852 623 36 × 2 = 1 + 0,217 705 246 72;
  • 34) 0,217 705 246 72 × 2 = 0 + 0,435 410 493 44;
  • 35) 0,435 410 493 44 × 2 = 0 + 0,870 820 986 88;
  • 36) 0,870 820 986 88 × 2 = 1 + 0,741 641 973 76;
  • 37) 0,741 641 973 76 × 2 = 1 + 0,483 283 947 52;
  • 38) 0,483 283 947 52 × 2 = 0 + 0,966 567 895 04;
  • 39) 0,966 567 895 04 × 2 = 1 + 0,933 135 790 08;
  • 40) 0,933 135 790 08 × 2 = 1 + 0,866 271 580 16;
  • 41) 0,866 271 580 16 × 2 = 1 + 0,732 543 160 32;
  • 42) 0,732 543 160 32 × 2 = 1 + 0,465 086 320 64;
  • 43) 0,465 086 320 64 × 2 = 0 + 0,930 172 641 28;
  • 44) 0,930 172 641 28 × 2 = 1 + 0,860 345 282 56;
  • 45) 0,860 345 282 56 × 2 = 1 + 0,720 690 565 12;
  • 46) 0,720 690 565 12 × 2 = 1 + 0,441 381 130 24;
  • 47) 0,441 381 130 24 × 2 = 0 + 0,882 762 260 48;
  • 48) 0,882 762 260 48 × 2 = 1 + 0,765 524 520 96;
  • 49) 0,765 524 520 96 × 2 = 1 + 0,531 049 041 92;
  • 50) 0,531 049 041 92 × 2 = 1 + 0,062 098 083 84;
  • 51) 0,062 098 083 84 × 2 = 0 + 0,124 196 167 68;
  • 52) 0,124 196 167 68 × 2 = 0 + 0,248 392 335 36;
  • 53) 0,248 392 335 36 × 2 = 0 + 0,496 784 670 72;
  • 54) 0,496 784 670 72 × 2 = 0 + 0,993 569 341 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,365 481 236 16(10) =

0,0101 1101 1001 0000 0010 1101 1010 0100 1001 1011 1101 1101 1100 00(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,365 481 236 16(10) =

0,0101 1101 1001 0000 0010 1101 1010 0100 1001 1011 1101 1101 1100 00(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,365 481 236 16(10) =

0,0101 1101 1001 0000 0010 1101 1010 0100 1001 1011 1101 1101 1100 00(2) =

0,0101 1101 1001 0000 0010 1101 1010 0100 1001 1011 1101 1101 1100 00(2) × 20 =

1,0111 0110 0100 0000 1011 0110 1001 0010 0110 1111 0111 0111 0000(2) × 2-2


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -2

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 0110 0100 0000 1011 0110 1001 0010 0110 1111 0111 0111 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-2 + 2(11-1) - 1 =

(-2 + 1 023)(10) =

1 021(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 021 : 2 = 510 + 1;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1021(10) =

011 1111 1101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 0110 0100 0000 1011 0110 1001 0010 0110 1111 0111 0111 0000 =

0111 0110 0100 0000 1011 0110 1001 0010 0110 1111 0111 0111 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1101

Mantisă (52 biți) =
0111 0110 0100 0000 1011 0110 1001 0010 0110 1111 0111 0111 0000


Numărul zecimal -0,365 481 236 16 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1101 - 0111 0110 0100 0000 1011 0110 1001 0010 0110 1111 0111 0111 0000

» Scriere -0,365 481 236 32 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100