-0,381 966 011 250 105 097 473 66 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,381 966 011 250 105 097 473 66(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,381 966 011 250 105 097 473 66(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,381 966 011 250 105 097 473 66| = 0,381 966 011 250 105 097 473 66


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,381 966 011 250 105 097 473 66.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,381 966 011 250 105 097 473 66 × 2 = 0 + 0,763 932 022 500 210 194 947 32;
  • 2) 0,763 932 022 500 210 194 947 32 × 2 = 1 + 0,527 864 045 000 420 389 894 64;
  • 3) 0,527 864 045 000 420 389 894 64 × 2 = 1 + 0,055 728 090 000 840 779 789 28;
  • 4) 0,055 728 090 000 840 779 789 28 × 2 = 0 + 0,111 456 180 001 681 559 578 56;
  • 5) 0,111 456 180 001 681 559 578 56 × 2 = 0 + 0,222 912 360 003 363 119 157 12;
  • 6) 0,222 912 360 003 363 119 157 12 × 2 = 0 + 0,445 824 720 006 726 238 314 24;
  • 7) 0,445 824 720 006 726 238 314 24 × 2 = 0 + 0,891 649 440 013 452 476 628 48;
  • 8) 0,891 649 440 013 452 476 628 48 × 2 = 1 + 0,783 298 880 026 904 953 256 96;
  • 9) 0,783 298 880 026 904 953 256 96 × 2 = 1 + 0,566 597 760 053 809 906 513 92;
  • 10) 0,566 597 760 053 809 906 513 92 × 2 = 1 + 0,133 195 520 107 619 813 027 84;
  • 11) 0,133 195 520 107 619 813 027 84 × 2 = 0 + 0,266 391 040 215 239 626 055 68;
  • 12) 0,266 391 040 215 239 626 055 68 × 2 = 0 + 0,532 782 080 430 479 252 111 36;
  • 13) 0,532 782 080 430 479 252 111 36 × 2 = 1 + 0,065 564 160 860 958 504 222 72;
  • 14) 0,065 564 160 860 958 504 222 72 × 2 = 0 + 0,131 128 321 721 917 008 445 44;
  • 15) 0,131 128 321 721 917 008 445 44 × 2 = 0 + 0,262 256 643 443 834 016 890 88;
  • 16) 0,262 256 643 443 834 016 890 88 × 2 = 0 + 0,524 513 286 887 668 033 781 76;
  • 17) 0,524 513 286 887 668 033 781 76 × 2 = 1 + 0,049 026 573 775 336 067 563 52;
  • 18) 0,049 026 573 775 336 067 563 52 × 2 = 0 + 0,098 053 147 550 672 135 127 04;
  • 19) 0,098 053 147 550 672 135 127 04 × 2 = 0 + 0,196 106 295 101 344 270 254 08;
  • 20) 0,196 106 295 101 344 270 254 08 × 2 = 0 + 0,392 212 590 202 688 540 508 16;
  • 21) 0,392 212 590 202 688 540 508 16 × 2 = 0 + 0,784 425 180 405 377 081 016 32;
  • 22) 0,784 425 180 405 377 081 016 32 × 2 = 1 + 0,568 850 360 810 754 162 032 64;
  • 23) 0,568 850 360 810 754 162 032 64 × 2 = 1 + 0,137 700 721 621 508 324 065 28;
  • 24) 0,137 700 721 621 508 324 065 28 × 2 = 0 + 0,275 401 443 243 016 648 130 56;
  • 25) 0,275 401 443 243 016 648 130 56 × 2 = 0 + 0,550 802 886 486 033 296 261 12;
  • 26) 0,550 802 886 486 033 296 261 12 × 2 = 1 + 0,101 605 772 972 066 592 522 24;
  • 27) 0,101 605 772 972 066 592 522 24 × 2 = 0 + 0,203 211 545 944 133 185 044 48;
  • 28) 0,203 211 545 944 133 185 044 48 × 2 = 0 + 0,406 423 091 888 266 370 088 96;
  • 29) 0,406 423 091 888 266 370 088 96 × 2 = 0 + 0,812 846 183 776 532 740 177 92;
  • 30) 0,812 846 183 776 532 740 177 92 × 2 = 1 + 0,625 692 367 553 065 480 355 84;
  • 31) 0,625 692 367 553 065 480 355 84 × 2 = 1 + 0,251 384 735 106 130 960 711 68;
  • 32) 0,251 384 735 106 130 960 711 68 × 2 = 0 + 0,502 769 470 212 261 921 423 36;
  • 33) 0,502 769 470 212 261 921 423 36 × 2 = 1 + 0,005 538 940 424 523 842 846 72;
  • 34) 0,005 538 940 424 523 842 846 72 × 2 = 0 + 0,011 077 880 849 047 685 693 44;
  • 35) 0,011 077 880 849 047 685 693 44 × 2 = 0 + 0,022 155 761 698 095 371 386 88;
  • 36) 0,022 155 761 698 095 371 386 88 × 2 = 0 + 0,044 311 523 396 190 742 773 76;
  • 37) 0,044 311 523 396 190 742 773 76 × 2 = 0 + 0,088 623 046 792 381 485 547 52;
  • 38) 0,088 623 046 792 381 485 547 52 × 2 = 0 + 0,177 246 093 584 762 971 095 04;
  • 39) 0,177 246 093 584 762 971 095 04 × 2 = 0 + 0,354 492 187 169 525 942 190 08;
  • 40) 0,354 492 187 169 525 942 190 08 × 2 = 0 + 0,708 984 374 339 051 884 380 16;
  • 41) 0,708 984 374 339 051 884 380 16 × 2 = 1 + 0,417 968 748 678 103 768 760 32;
  • 42) 0,417 968 748 678 103 768 760 32 × 2 = 0 + 0,835 937 497 356 207 537 520 64;
  • 43) 0,835 937 497 356 207 537 520 64 × 2 = 1 + 0,671 874 994 712 415 075 041 28;
  • 44) 0,671 874 994 712 415 075 041 28 × 2 = 1 + 0,343 749 989 424 830 150 082 56;
  • 45) 0,343 749 989 424 830 150 082 56 × 2 = 0 + 0,687 499 978 849 660 300 165 12;
  • 46) 0,687 499 978 849 660 300 165 12 × 2 = 1 + 0,374 999 957 699 320 600 330 24;
  • 47) 0,374 999 957 699 320 600 330 24 × 2 = 0 + 0,749 999 915 398 641 200 660 48;
  • 48) 0,749 999 915 398 641 200 660 48 × 2 = 1 + 0,499 999 830 797 282 401 320 96;
  • 49) 0,499 999 830 797 282 401 320 96 × 2 = 0 + 0,999 999 661 594 564 802 641 92;
  • 50) 0,999 999 661 594 564 802 641 92 × 2 = 1 + 0,999 999 323 189 129 605 283 84;
  • 51) 0,999 999 323 189 129 605 283 84 × 2 = 1 + 0,999 998 646 378 259 210 567 68;
  • 52) 0,999 998 646 378 259 210 567 68 × 2 = 1 + 0,999 997 292 756 518 421 135 36;
  • 53) 0,999 997 292 756 518 421 135 36 × 2 = 1 + 0,999 994 585 513 036 842 270 72;
  • 54) 0,999 994 585 513 036 842 270 72 × 2 = 1 + 0,999 989 171 026 073 684 541 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,381 966 011 250 105 097 473 66(10) =

0,0110 0001 1100 1000 1000 0110 0100 0110 1000 0000 1011 0101 0111 11(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,381 966 011 250 105 097 473 66(10) =

0,0110 0001 1100 1000 1000 0110 0100 0110 1000 0000 1011 0101 0111 11(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,381 966 011 250 105 097 473 66(10) =

0,0110 0001 1100 1000 1000 0110 0100 0110 1000 0000 1011 0101 0111 11(2) =

0,0110 0001 1100 1000 1000 0110 0100 0110 1000 0000 1011 0101 0111 11(2) × 20 =

1,1000 0111 0010 0010 0001 1001 0001 1010 0000 0010 1101 0101 1111(2) × 2-2


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -2

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0111 0010 0010 0001 1001 0001 1010 0000 0010 1101 0101 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-2 + 2(11-1) - 1 =

(-2 + 1 023)(10) =

1 021(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 021 : 2 = 510 + 1;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1021(10) =

011 1111 1101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0111 0010 0010 0001 1001 0001 1010 0000 0010 1101 0101 1111 =

1000 0111 0010 0010 0001 1001 0001 1010 0000 0010 1101 0101 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1101

Mantisă (52 biți) =
1000 0111 0010 0010 0001 1001 0001 1010 0000 0010 1101 0101 1111


Numărul zecimal -0,381 966 011 250 105 097 473 66 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1101 - 1000 0111 0010 0010 0001 1001 0001 1010 0000 0010 1101 0101 1111

» Scriere -0,381 966 011 250 105 097 473 81 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100