-0,381 966 011 250 105 097 474 346 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,381 966 011 250 105 097 474 346(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,381 966 011 250 105 097 474 346(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,381 966 011 250 105 097 474 346| = 0,381 966 011 250 105 097 474 346


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,381 966 011 250 105 097 474 346.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,381 966 011 250 105 097 474 346 × 2 = 0 + 0,763 932 022 500 210 194 948 692;
  • 2) 0,763 932 022 500 210 194 948 692 × 2 = 1 + 0,527 864 045 000 420 389 897 384;
  • 3) 0,527 864 045 000 420 389 897 384 × 2 = 1 + 0,055 728 090 000 840 779 794 768;
  • 4) 0,055 728 090 000 840 779 794 768 × 2 = 0 + 0,111 456 180 001 681 559 589 536;
  • 5) 0,111 456 180 001 681 559 589 536 × 2 = 0 + 0,222 912 360 003 363 119 179 072;
  • 6) 0,222 912 360 003 363 119 179 072 × 2 = 0 + 0,445 824 720 006 726 238 358 144;
  • 7) 0,445 824 720 006 726 238 358 144 × 2 = 0 + 0,891 649 440 013 452 476 716 288;
  • 8) 0,891 649 440 013 452 476 716 288 × 2 = 1 + 0,783 298 880 026 904 953 432 576;
  • 9) 0,783 298 880 026 904 953 432 576 × 2 = 1 + 0,566 597 760 053 809 906 865 152;
  • 10) 0,566 597 760 053 809 906 865 152 × 2 = 1 + 0,133 195 520 107 619 813 730 304;
  • 11) 0,133 195 520 107 619 813 730 304 × 2 = 0 + 0,266 391 040 215 239 627 460 608;
  • 12) 0,266 391 040 215 239 627 460 608 × 2 = 0 + 0,532 782 080 430 479 254 921 216;
  • 13) 0,532 782 080 430 479 254 921 216 × 2 = 1 + 0,065 564 160 860 958 509 842 432;
  • 14) 0,065 564 160 860 958 509 842 432 × 2 = 0 + 0,131 128 321 721 917 019 684 864;
  • 15) 0,131 128 321 721 917 019 684 864 × 2 = 0 + 0,262 256 643 443 834 039 369 728;
  • 16) 0,262 256 643 443 834 039 369 728 × 2 = 0 + 0,524 513 286 887 668 078 739 456;
  • 17) 0,524 513 286 887 668 078 739 456 × 2 = 1 + 0,049 026 573 775 336 157 478 912;
  • 18) 0,049 026 573 775 336 157 478 912 × 2 = 0 + 0,098 053 147 550 672 314 957 824;
  • 19) 0,098 053 147 550 672 314 957 824 × 2 = 0 + 0,196 106 295 101 344 629 915 648;
  • 20) 0,196 106 295 101 344 629 915 648 × 2 = 0 + 0,392 212 590 202 689 259 831 296;
  • 21) 0,392 212 590 202 689 259 831 296 × 2 = 0 + 0,784 425 180 405 378 519 662 592;
  • 22) 0,784 425 180 405 378 519 662 592 × 2 = 1 + 0,568 850 360 810 757 039 325 184;
  • 23) 0,568 850 360 810 757 039 325 184 × 2 = 1 + 0,137 700 721 621 514 078 650 368;
  • 24) 0,137 700 721 621 514 078 650 368 × 2 = 0 + 0,275 401 443 243 028 157 300 736;
  • 25) 0,275 401 443 243 028 157 300 736 × 2 = 0 + 0,550 802 886 486 056 314 601 472;
  • 26) 0,550 802 886 486 056 314 601 472 × 2 = 1 + 0,101 605 772 972 112 629 202 944;
  • 27) 0,101 605 772 972 112 629 202 944 × 2 = 0 + 0,203 211 545 944 225 258 405 888;
  • 28) 0,203 211 545 944 225 258 405 888 × 2 = 0 + 0,406 423 091 888 450 516 811 776;
  • 29) 0,406 423 091 888 450 516 811 776 × 2 = 0 + 0,812 846 183 776 901 033 623 552;
  • 30) 0,812 846 183 776 901 033 623 552 × 2 = 1 + 0,625 692 367 553 802 067 247 104;
  • 31) 0,625 692 367 553 802 067 247 104 × 2 = 1 + 0,251 384 735 107 604 134 494 208;
  • 32) 0,251 384 735 107 604 134 494 208 × 2 = 0 + 0,502 769 470 215 208 268 988 416;
  • 33) 0,502 769 470 215 208 268 988 416 × 2 = 1 + 0,005 538 940 430 416 537 976 832;
  • 34) 0,005 538 940 430 416 537 976 832 × 2 = 0 + 0,011 077 880 860 833 075 953 664;
  • 35) 0,011 077 880 860 833 075 953 664 × 2 = 0 + 0,022 155 761 721 666 151 907 328;
  • 36) 0,022 155 761 721 666 151 907 328 × 2 = 0 + 0,044 311 523 443 332 303 814 656;
  • 37) 0,044 311 523 443 332 303 814 656 × 2 = 0 + 0,088 623 046 886 664 607 629 312;
  • 38) 0,088 623 046 886 664 607 629 312 × 2 = 0 + 0,177 246 093 773 329 215 258 624;
  • 39) 0,177 246 093 773 329 215 258 624 × 2 = 0 + 0,354 492 187 546 658 430 517 248;
  • 40) 0,354 492 187 546 658 430 517 248 × 2 = 0 + 0,708 984 375 093 316 861 034 496;
  • 41) 0,708 984 375 093 316 861 034 496 × 2 = 1 + 0,417 968 750 186 633 722 068 992;
  • 42) 0,417 968 750 186 633 722 068 992 × 2 = 0 + 0,835 937 500 373 267 444 137 984;
  • 43) 0,835 937 500 373 267 444 137 984 × 2 = 1 + 0,671 875 000 746 534 888 275 968;
  • 44) 0,671 875 000 746 534 888 275 968 × 2 = 1 + 0,343 750 001 493 069 776 551 936;
  • 45) 0,343 750 001 493 069 776 551 936 × 2 = 0 + 0,687 500 002 986 139 553 103 872;
  • 46) 0,687 500 002 986 139 553 103 872 × 2 = 1 + 0,375 000 005 972 279 106 207 744;
  • 47) 0,375 000 005 972 279 106 207 744 × 2 = 0 + 0,750 000 011 944 558 212 415 488;
  • 48) 0,750 000 011 944 558 212 415 488 × 2 = 1 + 0,500 000 023 889 116 424 830 976;
  • 49) 0,500 000 023 889 116 424 830 976 × 2 = 1 + 0,000 000 047 778 232 849 661 952;
  • 50) 0,000 000 047 778 232 849 661 952 × 2 = 0 + 0,000 000 095 556 465 699 323 904;
  • 51) 0,000 000 095 556 465 699 323 904 × 2 = 0 + 0,000 000 191 112 931 398 647 808;
  • 52) 0,000 000 191 112 931 398 647 808 × 2 = 0 + 0,000 000 382 225 862 797 295 616;
  • 53) 0,000 000 382 225 862 797 295 616 × 2 = 0 + 0,000 000 764 451 725 594 591 232;
  • 54) 0,000 000 764 451 725 594 591 232 × 2 = 0 + 0,000 001 528 903 451 189 182 464;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,381 966 011 250 105 097 474 346(10) =

0,0110 0001 1100 1000 1000 0110 0100 0110 1000 0000 1011 0101 1000 00(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,381 966 011 250 105 097 474 346(10) =

0,0110 0001 1100 1000 1000 0110 0100 0110 1000 0000 1011 0101 1000 00(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,381 966 011 250 105 097 474 346(10) =

0,0110 0001 1100 1000 1000 0110 0100 0110 1000 0000 1011 0101 1000 00(2) =

0,0110 0001 1100 1000 1000 0110 0100 0110 1000 0000 1011 0101 1000 00(2) × 20 =

1,1000 0111 0010 0010 0001 1001 0001 1010 0000 0010 1101 0110 0000(2) × 2-2


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -2

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0111 0010 0010 0001 1001 0001 1010 0000 0010 1101 0110 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-2 + 2(11-1) - 1 =

(-2 + 1 023)(10) =

1 021(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 021 : 2 = 510 + 1;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1021(10) =

011 1111 1101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0111 0010 0010 0001 1001 0001 1010 0000 0010 1101 0110 0000 =

1000 0111 0010 0010 0001 1001 0001 1010 0000 0010 1101 0110 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1101

Mantisă (52 biți) =
1000 0111 0010 0010 0001 1001 0001 1010 0000 0010 1101 0110 0000


Numărul zecimal -0,381 966 011 250 105 097 474 346 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1101 - 1000 0111 0010 0010 0001 1001 0001 1010 0000 0010 1101 0110 0000

» Scriere -0,381 966 011 250 105 097 474 27 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100