-0,381 966 011 250 105 097 474 76 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,381 966 011 250 105 097 474 76(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,381 966 011 250 105 097 474 76(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,381 966 011 250 105 097 474 76| = 0,381 966 011 250 105 097 474 76


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,381 966 011 250 105 097 474 76.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,381 966 011 250 105 097 474 76 × 2 = 0 + 0,763 932 022 500 210 194 949 52;
  • 2) 0,763 932 022 500 210 194 949 52 × 2 = 1 + 0,527 864 045 000 420 389 899 04;
  • 3) 0,527 864 045 000 420 389 899 04 × 2 = 1 + 0,055 728 090 000 840 779 798 08;
  • 4) 0,055 728 090 000 840 779 798 08 × 2 = 0 + 0,111 456 180 001 681 559 596 16;
  • 5) 0,111 456 180 001 681 559 596 16 × 2 = 0 + 0,222 912 360 003 363 119 192 32;
  • 6) 0,222 912 360 003 363 119 192 32 × 2 = 0 + 0,445 824 720 006 726 238 384 64;
  • 7) 0,445 824 720 006 726 238 384 64 × 2 = 0 + 0,891 649 440 013 452 476 769 28;
  • 8) 0,891 649 440 013 452 476 769 28 × 2 = 1 + 0,783 298 880 026 904 953 538 56;
  • 9) 0,783 298 880 026 904 953 538 56 × 2 = 1 + 0,566 597 760 053 809 907 077 12;
  • 10) 0,566 597 760 053 809 907 077 12 × 2 = 1 + 0,133 195 520 107 619 814 154 24;
  • 11) 0,133 195 520 107 619 814 154 24 × 2 = 0 + 0,266 391 040 215 239 628 308 48;
  • 12) 0,266 391 040 215 239 628 308 48 × 2 = 0 + 0,532 782 080 430 479 256 616 96;
  • 13) 0,532 782 080 430 479 256 616 96 × 2 = 1 + 0,065 564 160 860 958 513 233 92;
  • 14) 0,065 564 160 860 958 513 233 92 × 2 = 0 + 0,131 128 321 721 917 026 467 84;
  • 15) 0,131 128 321 721 917 026 467 84 × 2 = 0 + 0,262 256 643 443 834 052 935 68;
  • 16) 0,262 256 643 443 834 052 935 68 × 2 = 0 + 0,524 513 286 887 668 105 871 36;
  • 17) 0,524 513 286 887 668 105 871 36 × 2 = 1 + 0,049 026 573 775 336 211 742 72;
  • 18) 0,049 026 573 775 336 211 742 72 × 2 = 0 + 0,098 053 147 550 672 423 485 44;
  • 19) 0,098 053 147 550 672 423 485 44 × 2 = 0 + 0,196 106 295 101 344 846 970 88;
  • 20) 0,196 106 295 101 344 846 970 88 × 2 = 0 + 0,392 212 590 202 689 693 941 76;
  • 21) 0,392 212 590 202 689 693 941 76 × 2 = 0 + 0,784 425 180 405 379 387 883 52;
  • 22) 0,784 425 180 405 379 387 883 52 × 2 = 1 + 0,568 850 360 810 758 775 767 04;
  • 23) 0,568 850 360 810 758 775 767 04 × 2 = 1 + 0,137 700 721 621 517 551 534 08;
  • 24) 0,137 700 721 621 517 551 534 08 × 2 = 0 + 0,275 401 443 243 035 103 068 16;
  • 25) 0,275 401 443 243 035 103 068 16 × 2 = 0 + 0,550 802 886 486 070 206 136 32;
  • 26) 0,550 802 886 486 070 206 136 32 × 2 = 1 + 0,101 605 772 972 140 412 272 64;
  • 27) 0,101 605 772 972 140 412 272 64 × 2 = 0 + 0,203 211 545 944 280 824 545 28;
  • 28) 0,203 211 545 944 280 824 545 28 × 2 = 0 + 0,406 423 091 888 561 649 090 56;
  • 29) 0,406 423 091 888 561 649 090 56 × 2 = 0 + 0,812 846 183 777 123 298 181 12;
  • 30) 0,812 846 183 777 123 298 181 12 × 2 = 1 + 0,625 692 367 554 246 596 362 24;
  • 31) 0,625 692 367 554 246 596 362 24 × 2 = 1 + 0,251 384 735 108 493 192 724 48;
  • 32) 0,251 384 735 108 493 192 724 48 × 2 = 0 + 0,502 769 470 216 986 385 448 96;
  • 33) 0,502 769 470 216 986 385 448 96 × 2 = 1 + 0,005 538 940 433 972 770 897 92;
  • 34) 0,005 538 940 433 972 770 897 92 × 2 = 0 + 0,011 077 880 867 945 541 795 84;
  • 35) 0,011 077 880 867 945 541 795 84 × 2 = 0 + 0,022 155 761 735 891 083 591 68;
  • 36) 0,022 155 761 735 891 083 591 68 × 2 = 0 + 0,044 311 523 471 782 167 183 36;
  • 37) 0,044 311 523 471 782 167 183 36 × 2 = 0 + 0,088 623 046 943 564 334 366 72;
  • 38) 0,088 623 046 943 564 334 366 72 × 2 = 0 + 0,177 246 093 887 128 668 733 44;
  • 39) 0,177 246 093 887 128 668 733 44 × 2 = 0 + 0,354 492 187 774 257 337 466 88;
  • 40) 0,354 492 187 774 257 337 466 88 × 2 = 0 + 0,708 984 375 548 514 674 933 76;
  • 41) 0,708 984 375 548 514 674 933 76 × 2 = 1 + 0,417 968 751 097 029 349 867 52;
  • 42) 0,417 968 751 097 029 349 867 52 × 2 = 0 + 0,835 937 502 194 058 699 735 04;
  • 43) 0,835 937 502 194 058 699 735 04 × 2 = 1 + 0,671 875 004 388 117 399 470 08;
  • 44) 0,671 875 004 388 117 399 470 08 × 2 = 1 + 0,343 750 008 776 234 798 940 16;
  • 45) 0,343 750 008 776 234 798 940 16 × 2 = 0 + 0,687 500 017 552 469 597 880 32;
  • 46) 0,687 500 017 552 469 597 880 32 × 2 = 1 + 0,375 000 035 104 939 195 760 64;
  • 47) 0,375 000 035 104 939 195 760 64 × 2 = 0 + 0,750 000 070 209 878 391 521 28;
  • 48) 0,750 000 070 209 878 391 521 28 × 2 = 1 + 0,500 000 140 419 756 783 042 56;
  • 49) 0,500 000 140 419 756 783 042 56 × 2 = 1 + 0,000 000 280 839 513 566 085 12;
  • 50) 0,000 000 280 839 513 566 085 12 × 2 = 0 + 0,000 000 561 679 027 132 170 24;
  • 51) 0,000 000 561 679 027 132 170 24 × 2 = 0 + 0,000 001 123 358 054 264 340 48;
  • 52) 0,000 001 123 358 054 264 340 48 × 2 = 0 + 0,000 002 246 716 108 528 680 96;
  • 53) 0,000 002 246 716 108 528 680 96 × 2 = 0 + 0,000 004 493 432 217 057 361 92;
  • 54) 0,000 004 493 432 217 057 361 92 × 2 = 0 + 0,000 008 986 864 434 114 723 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,381 966 011 250 105 097 474 76(10) =

0,0110 0001 1100 1000 1000 0110 0100 0110 1000 0000 1011 0101 1000 00(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,381 966 011 250 105 097 474 76(10) =

0,0110 0001 1100 1000 1000 0110 0100 0110 1000 0000 1011 0101 1000 00(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,381 966 011 250 105 097 474 76(10) =

0,0110 0001 1100 1000 1000 0110 0100 0110 1000 0000 1011 0101 1000 00(2) =

0,0110 0001 1100 1000 1000 0110 0100 0110 1000 0000 1011 0101 1000 00(2) × 20 =

1,1000 0111 0010 0010 0001 1001 0001 1010 0000 0010 1101 0110 0000(2) × 2-2


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -2

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0111 0010 0010 0001 1001 0001 1010 0000 0010 1101 0110 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-2 + 2(11-1) - 1 =

(-2 + 1 023)(10) =

1 021(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 021 : 2 = 510 + 1;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1021(10) =

011 1111 1101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0111 0010 0010 0001 1001 0001 1010 0000 0010 1101 0110 0000 =

1000 0111 0010 0010 0001 1001 0001 1010 0000 0010 1101 0110 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1101

Mantisă (52 biți) =
1000 0111 0010 0010 0001 1001 0001 1010 0000 0010 1101 0110 0000


Numărul zecimal -0,381 966 011 250 105 097 474 76 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1101 - 1000 0111 0010 0010 0001 1001 0001 1010 0000 0010 1101 0110 0000

» Scriere -0,381 966 011 250 105 097 474 02 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100