-0,474 949 350 777 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,474 949 350 777 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,474 949 350 777 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,474 949 350 777 4| = 0,474 949 350 777 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,474 949 350 777 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,474 949 350 777 4 × 2 = 0 + 0,949 898 701 554 8;
  • 2) 0,949 898 701 554 8 × 2 = 1 + 0,899 797 403 109 6;
  • 3) 0,899 797 403 109 6 × 2 = 1 + 0,799 594 806 219 2;
  • 4) 0,799 594 806 219 2 × 2 = 1 + 0,599 189 612 438 4;
  • 5) 0,599 189 612 438 4 × 2 = 1 + 0,198 379 224 876 8;
  • 6) 0,198 379 224 876 8 × 2 = 0 + 0,396 758 449 753 6;
  • 7) 0,396 758 449 753 6 × 2 = 0 + 0,793 516 899 507 2;
  • 8) 0,793 516 899 507 2 × 2 = 1 + 0,587 033 799 014 4;
  • 9) 0,587 033 799 014 4 × 2 = 1 + 0,174 067 598 028 8;
  • 10) 0,174 067 598 028 8 × 2 = 0 + 0,348 135 196 057 6;
  • 11) 0,348 135 196 057 6 × 2 = 0 + 0,696 270 392 115 2;
  • 12) 0,696 270 392 115 2 × 2 = 1 + 0,392 540 784 230 4;
  • 13) 0,392 540 784 230 4 × 2 = 0 + 0,785 081 568 460 8;
  • 14) 0,785 081 568 460 8 × 2 = 1 + 0,570 163 136 921 6;
  • 15) 0,570 163 136 921 6 × 2 = 1 + 0,140 326 273 843 2;
  • 16) 0,140 326 273 843 2 × 2 = 0 + 0,280 652 547 686 4;
  • 17) 0,280 652 547 686 4 × 2 = 0 + 0,561 305 095 372 8;
  • 18) 0,561 305 095 372 8 × 2 = 1 + 0,122 610 190 745 6;
  • 19) 0,122 610 190 745 6 × 2 = 0 + 0,245 220 381 491 2;
  • 20) 0,245 220 381 491 2 × 2 = 0 + 0,490 440 762 982 4;
  • 21) 0,490 440 762 982 4 × 2 = 0 + 0,980 881 525 964 8;
  • 22) 0,980 881 525 964 8 × 2 = 1 + 0,961 763 051 929 6;
  • 23) 0,961 763 051 929 6 × 2 = 1 + 0,923 526 103 859 2;
  • 24) 0,923 526 103 859 2 × 2 = 1 + 0,847 052 207 718 4;
  • 25) 0,847 052 207 718 4 × 2 = 1 + 0,694 104 415 436 8;
  • 26) 0,694 104 415 436 8 × 2 = 1 + 0,388 208 830 873 6;
  • 27) 0,388 208 830 873 6 × 2 = 0 + 0,776 417 661 747 2;
  • 28) 0,776 417 661 747 2 × 2 = 1 + 0,552 835 323 494 4;
  • 29) 0,552 835 323 494 4 × 2 = 1 + 0,105 670 646 988 8;
  • 30) 0,105 670 646 988 8 × 2 = 0 + 0,211 341 293 977 6;
  • 31) 0,211 341 293 977 6 × 2 = 0 + 0,422 682 587 955 2;
  • 32) 0,422 682 587 955 2 × 2 = 0 + 0,845 365 175 910 4;
  • 33) 0,845 365 175 910 4 × 2 = 1 + 0,690 730 351 820 8;
  • 34) 0,690 730 351 820 8 × 2 = 1 + 0,381 460 703 641 6;
  • 35) 0,381 460 703 641 6 × 2 = 0 + 0,762 921 407 283 2;
  • 36) 0,762 921 407 283 2 × 2 = 1 + 0,525 842 814 566 4;
  • 37) 0,525 842 814 566 4 × 2 = 1 + 0,051 685 629 132 8;
  • 38) 0,051 685 629 132 8 × 2 = 0 + 0,103 371 258 265 6;
  • 39) 0,103 371 258 265 6 × 2 = 0 + 0,206 742 516 531 2;
  • 40) 0,206 742 516 531 2 × 2 = 0 + 0,413 485 033 062 4;
  • 41) 0,413 485 033 062 4 × 2 = 0 + 0,826 970 066 124 8;
  • 42) 0,826 970 066 124 8 × 2 = 1 + 0,653 940 132 249 6;
  • 43) 0,653 940 132 249 6 × 2 = 1 + 0,307 880 264 499 2;
  • 44) 0,307 880 264 499 2 × 2 = 0 + 0,615 760 528 998 4;
  • 45) 0,615 760 528 998 4 × 2 = 1 + 0,231 521 057 996 8;
  • 46) 0,231 521 057 996 8 × 2 = 0 + 0,463 042 115 993 6;
  • 47) 0,463 042 115 993 6 × 2 = 0 + 0,926 084 231 987 2;
  • 48) 0,926 084 231 987 2 × 2 = 1 + 0,852 168 463 974 4;
  • 49) 0,852 168 463 974 4 × 2 = 1 + 0,704 336 927 948 8;
  • 50) 0,704 336 927 948 8 × 2 = 1 + 0,408 673 855 897 6;
  • 51) 0,408 673 855 897 6 × 2 = 0 + 0,817 347 711 795 2;
  • 52) 0,817 347 711 795 2 × 2 = 1 + 0,634 695 423 590 4;
  • 53) 0,634 695 423 590 4 × 2 = 1 + 0,269 390 847 180 8;
  • 54) 0,269 390 847 180 8 × 2 = 0 + 0,538 781 694 361 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,474 949 350 777 4(10) =

0,0111 1001 1001 0110 0100 0111 1101 1000 1101 1000 0110 1001 1101 10(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,474 949 350 777 4(10) =

0,0111 1001 1001 0110 0100 0111 1101 1000 1101 1000 0110 1001 1101 10(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,474 949 350 777 4(10) =

0,0111 1001 1001 0110 0100 0111 1101 1000 1101 1000 0110 1001 1101 10(2) =

0,0111 1001 1001 0110 0100 0111 1101 1000 1101 1000 0110 1001 1101 10(2) × 20 =

1,1110 0110 0101 1001 0001 1111 0110 0011 0110 0001 1010 0111 0110(2) × 2-2


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -2

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 0110 0101 1001 0001 1111 0110 0011 0110 0001 1010 0111 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-2 + 2(11-1) - 1 =

(-2 + 1 023)(10) =

1 021(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 021 : 2 = 510 + 1;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1021(10) =

011 1111 1101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 0110 0101 1001 0001 1111 0110 0011 0110 0001 1010 0111 0110 =

1110 0110 0101 1001 0001 1111 0110 0011 0110 0001 1010 0111 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1101

Mantisă (52 biți) =
1110 0110 0101 1001 0001 1111 0110 0011 0110 0001 1010 0111 0110


Numărul zecimal -0,474 949 350 777 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1101 - 1110 0110 0101 1001 0001 1111 0110 0011 0110 0001 1010 0111 0110

» Scriere -0,474 949 350 775 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 11, 2026 [Noiembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Noiembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100