-0,620 527 518 458 97 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,620 527 518 458 97(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,620 527 518 458 97(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,620 527 518 458 97| = 0,620 527 518 458 97


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,620 527 518 458 97.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,620 527 518 458 97 × 2 = 1 + 0,241 055 036 917 94;
  • 2) 0,241 055 036 917 94 × 2 = 0 + 0,482 110 073 835 88;
  • 3) 0,482 110 073 835 88 × 2 = 0 + 0,964 220 147 671 76;
  • 4) 0,964 220 147 671 76 × 2 = 1 + 0,928 440 295 343 52;
  • 5) 0,928 440 295 343 52 × 2 = 1 + 0,856 880 590 687 04;
  • 6) 0,856 880 590 687 04 × 2 = 1 + 0,713 761 181 374 08;
  • 7) 0,713 761 181 374 08 × 2 = 1 + 0,427 522 362 748 16;
  • 8) 0,427 522 362 748 16 × 2 = 0 + 0,855 044 725 496 32;
  • 9) 0,855 044 725 496 32 × 2 = 1 + 0,710 089 450 992 64;
  • 10) 0,710 089 450 992 64 × 2 = 1 + 0,420 178 901 985 28;
  • 11) 0,420 178 901 985 28 × 2 = 0 + 0,840 357 803 970 56;
  • 12) 0,840 357 803 970 56 × 2 = 1 + 0,680 715 607 941 12;
  • 13) 0,680 715 607 941 12 × 2 = 1 + 0,361 431 215 882 24;
  • 14) 0,361 431 215 882 24 × 2 = 0 + 0,722 862 431 764 48;
  • 15) 0,722 862 431 764 48 × 2 = 1 + 0,445 724 863 528 96;
  • 16) 0,445 724 863 528 96 × 2 = 0 + 0,891 449 727 057 92;
  • 17) 0,891 449 727 057 92 × 2 = 1 + 0,782 899 454 115 84;
  • 18) 0,782 899 454 115 84 × 2 = 1 + 0,565 798 908 231 68;
  • 19) 0,565 798 908 231 68 × 2 = 1 + 0,131 597 816 463 36;
  • 20) 0,131 597 816 463 36 × 2 = 0 + 0,263 195 632 926 72;
  • 21) 0,263 195 632 926 72 × 2 = 0 + 0,526 391 265 853 44;
  • 22) 0,526 391 265 853 44 × 2 = 1 + 0,052 782 531 706 88;
  • 23) 0,052 782 531 706 88 × 2 = 0 + 0,105 565 063 413 76;
  • 24) 0,105 565 063 413 76 × 2 = 0 + 0,211 130 126 827 52;
  • 25) 0,211 130 126 827 52 × 2 = 0 + 0,422 260 253 655 04;
  • 26) 0,422 260 253 655 04 × 2 = 0 + 0,844 520 507 310 08;
  • 27) 0,844 520 507 310 08 × 2 = 1 + 0,689 041 014 620 16;
  • 28) 0,689 041 014 620 16 × 2 = 1 + 0,378 082 029 240 32;
  • 29) 0,378 082 029 240 32 × 2 = 0 + 0,756 164 058 480 64;
  • 30) 0,756 164 058 480 64 × 2 = 1 + 0,512 328 116 961 28;
  • 31) 0,512 328 116 961 28 × 2 = 1 + 0,024 656 233 922 56;
  • 32) 0,024 656 233 922 56 × 2 = 0 + 0,049 312 467 845 12;
  • 33) 0,049 312 467 845 12 × 2 = 0 + 0,098 624 935 690 24;
  • 34) 0,098 624 935 690 24 × 2 = 0 + 0,197 249 871 380 48;
  • 35) 0,197 249 871 380 48 × 2 = 0 + 0,394 499 742 760 96;
  • 36) 0,394 499 742 760 96 × 2 = 0 + 0,788 999 485 521 92;
  • 37) 0,788 999 485 521 92 × 2 = 1 + 0,577 998 971 043 84;
  • 38) 0,577 998 971 043 84 × 2 = 1 + 0,155 997 942 087 68;
  • 39) 0,155 997 942 087 68 × 2 = 0 + 0,311 995 884 175 36;
  • 40) 0,311 995 884 175 36 × 2 = 0 + 0,623 991 768 350 72;
  • 41) 0,623 991 768 350 72 × 2 = 1 + 0,247 983 536 701 44;
  • 42) 0,247 983 536 701 44 × 2 = 0 + 0,495 967 073 402 88;
  • 43) 0,495 967 073 402 88 × 2 = 0 + 0,991 934 146 805 76;
  • 44) 0,991 934 146 805 76 × 2 = 1 + 0,983 868 293 611 52;
  • 45) 0,983 868 293 611 52 × 2 = 1 + 0,967 736 587 223 04;
  • 46) 0,967 736 587 223 04 × 2 = 1 + 0,935 473 174 446 08;
  • 47) 0,935 473 174 446 08 × 2 = 1 + 0,870 946 348 892 16;
  • 48) 0,870 946 348 892 16 × 2 = 1 + 0,741 892 697 784 32;
  • 49) 0,741 892 697 784 32 × 2 = 1 + 0,483 785 395 568 64;
  • 50) 0,483 785 395 568 64 × 2 = 0 + 0,967 570 791 137 28;
  • 51) 0,967 570 791 137 28 × 2 = 1 + 0,935 141 582 274 56;
  • 52) 0,935 141 582 274 56 × 2 = 1 + 0,870 283 164 549 12;
  • 53) 0,870 283 164 549 12 × 2 = 1 + 0,740 566 329 098 24;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,620 527 518 458 97(10) =

0,1001 1110 1101 1010 1110 0100 0011 0110 0000 1100 1001 1111 1011 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,620 527 518 458 97(10) =

0,1001 1110 1101 1010 1110 0100 0011 0110 0000 1100 1001 1111 1011 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,620 527 518 458 97(10) =

0,1001 1110 1101 1010 1110 0100 0011 0110 0000 1100 1001 1111 1011 1(2) =

0,1001 1110 1101 1010 1110 0100 0011 0110 0000 1100 1001 1111 1011 1(2) × 20 =

1,0011 1101 1011 0101 1100 1000 0110 1100 0001 1001 0011 1111 0111(2) × 2-1


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1101 1011 0101 1100 1000 0110 1100 0001 1001 0011 1111 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1101 1011 0101 1100 1000 0110 1100 0001 1001 0011 1111 0111 =

0011 1101 1011 0101 1100 1000 0110 1100 0001 1001 0011 1111 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
0011 1101 1011 0101 1100 1000 0110 1100 0001 1001 0011 1111 0111


Numărul zecimal -0,620 527 518 458 97 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1110 - 0011 1101 1011 0101 1100 1000 0110 1100 0001 1001 0011 1111 0111

» Scriere -0,620 527 518 459 48 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100