-0,738 560 627 359 831 218 42 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,738 560 627 359 831 218 42(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,738 560 627 359 831 218 42(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,738 560 627 359 831 218 42| = 0,738 560 627 359 831 218 42


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,738 560 627 359 831 218 42.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,738 560 627 359 831 218 42 × 2 = 1 + 0,477 121 254 719 662 436 84;
  • 2) 0,477 121 254 719 662 436 84 × 2 = 0 + 0,954 242 509 439 324 873 68;
  • 3) 0,954 242 509 439 324 873 68 × 2 = 1 + 0,908 485 018 878 649 747 36;
  • 4) 0,908 485 018 878 649 747 36 × 2 = 1 + 0,816 970 037 757 299 494 72;
  • 5) 0,816 970 037 757 299 494 72 × 2 = 1 + 0,633 940 075 514 598 989 44;
  • 6) 0,633 940 075 514 598 989 44 × 2 = 1 + 0,267 880 151 029 197 978 88;
  • 7) 0,267 880 151 029 197 978 88 × 2 = 0 + 0,535 760 302 058 395 957 76;
  • 8) 0,535 760 302 058 395 957 76 × 2 = 1 + 0,071 520 604 116 791 915 52;
  • 9) 0,071 520 604 116 791 915 52 × 2 = 0 + 0,143 041 208 233 583 831 04;
  • 10) 0,143 041 208 233 583 831 04 × 2 = 0 + 0,286 082 416 467 167 662 08;
  • 11) 0,286 082 416 467 167 662 08 × 2 = 0 + 0,572 164 832 934 335 324 16;
  • 12) 0,572 164 832 934 335 324 16 × 2 = 1 + 0,144 329 665 868 670 648 32;
  • 13) 0,144 329 665 868 670 648 32 × 2 = 0 + 0,288 659 331 737 341 296 64;
  • 14) 0,288 659 331 737 341 296 64 × 2 = 0 + 0,577 318 663 474 682 593 28;
  • 15) 0,577 318 663 474 682 593 28 × 2 = 1 + 0,154 637 326 949 365 186 56;
  • 16) 0,154 637 326 949 365 186 56 × 2 = 0 + 0,309 274 653 898 730 373 12;
  • 17) 0,309 274 653 898 730 373 12 × 2 = 0 + 0,618 549 307 797 460 746 24;
  • 18) 0,618 549 307 797 460 746 24 × 2 = 1 + 0,237 098 615 594 921 492 48;
  • 19) 0,237 098 615 594 921 492 48 × 2 = 0 + 0,474 197 231 189 842 984 96;
  • 20) 0,474 197 231 189 842 984 96 × 2 = 0 + 0,948 394 462 379 685 969 92;
  • 21) 0,948 394 462 379 685 969 92 × 2 = 1 + 0,896 788 924 759 371 939 84;
  • 22) 0,896 788 924 759 371 939 84 × 2 = 1 + 0,793 577 849 518 743 879 68;
  • 23) 0,793 577 849 518 743 879 68 × 2 = 1 + 0,587 155 699 037 487 759 36;
  • 24) 0,587 155 699 037 487 759 36 × 2 = 1 + 0,174 311 398 074 975 518 72;
  • 25) 0,174 311 398 074 975 518 72 × 2 = 0 + 0,348 622 796 149 951 037 44;
  • 26) 0,348 622 796 149 951 037 44 × 2 = 0 + 0,697 245 592 299 902 074 88;
  • 27) 0,697 245 592 299 902 074 88 × 2 = 1 + 0,394 491 184 599 804 149 76;
  • 28) 0,394 491 184 599 804 149 76 × 2 = 0 + 0,788 982 369 199 608 299 52;
  • 29) 0,788 982 369 199 608 299 52 × 2 = 1 + 0,577 964 738 399 216 599 04;
  • 30) 0,577 964 738 399 216 599 04 × 2 = 1 + 0,155 929 476 798 433 198 08;
  • 31) 0,155 929 476 798 433 198 08 × 2 = 0 + 0,311 858 953 596 866 396 16;
  • 32) 0,311 858 953 596 866 396 16 × 2 = 0 + 0,623 717 907 193 732 792 32;
  • 33) 0,623 717 907 193 732 792 32 × 2 = 1 + 0,247 435 814 387 465 584 64;
  • 34) 0,247 435 814 387 465 584 64 × 2 = 0 + 0,494 871 628 774 931 169 28;
  • 35) 0,494 871 628 774 931 169 28 × 2 = 0 + 0,989 743 257 549 862 338 56;
  • 36) 0,989 743 257 549 862 338 56 × 2 = 1 + 0,979 486 515 099 724 677 12;
  • 37) 0,979 486 515 099 724 677 12 × 2 = 1 + 0,958 973 030 199 449 354 24;
  • 38) 0,958 973 030 199 449 354 24 × 2 = 1 + 0,917 946 060 398 898 708 48;
  • 39) 0,917 946 060 398 898 708 48 × 2 = 1 + 0,835 892 120 797 797 416 96;
  • 40) 0,835 892 120 797 797 416 96 × 2 = 1 + 0,671 784 241 595 594 833 92;
  • 41) 0,671 784 241 595 594 833 92 × 2 = 1 + 0,343 568 483 191 189 667 84;
  • 42) 0,343 568 483 191 189 667 84 × 2 = 0 + 0,687 136 966 382 379 335 68;
  • 43) 0,687 136 966 382 379 335 68 × 2 = 1 + 0,374 273 932 764 758 671 36;
  • 44) 0,374 273 932 764 758 671 36 × 2 = 0 + 0,748 547 865 529 517 342 72;
  • 45) 0,748 547 865 529 517 342 72 × 2 = 1 + 0,497 095 731 059 034 685 44;
  • 46) 0,497 095 731 059 034 685 44 × 2 = 0 + 0,994 191 462 118 069 370 88;
  • 47) 0,994 191 462 118 069 370 88 × 2 = 1 + 0,988 382 924 236 138 741 76;
  • 48) 0,988 382 924 236 138 741 76 × 2 = 1 + 0,976 765 848 472 277 483 52;
  • 49) 0,976 765 848 472 277 483 52 × 2 = 1 + 0,953 531 696 944 554 967 04;
  • 50) 0,953 531 696 944 554 967 04 × 2 = 1 + 0,907 063 393 889 109 934 08;
  • 51) 0,907 063 393 889 109 934 08 × 2 = 1 + 0,814 126 787 778 219 868 16;
  • 52) 0,814 126 787 778 219 868 16 × 2 = 1 + 0,628 253 575 556 439 736 32;
  • 53) 0,628 253 575 556 439 736 32 × 2 = 1 + 0,256 507 151 112 879 472 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,738 560 627 359 831 218 42(10) =

0,1011 1101 0001 0010 0100 1111 0010 1100 1001 1111 1010 1011 1111 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,738 560 627 359 831 218 42(10) =

0,1011 1101 0001 0010 0100 1111 0010 1100 1001 1111 1010 1011 1111 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,738 560 627 359 831 218 42(10) =

0,1011 1101 0001 0010 0100 1111 0010 1100 1001 1111 1010 1011 1111 1(2) =

0,1011 1101 0001 0010 0100 1111 0010 1100 1001 1111 1010 1011 1111 1(2) × 20 =

1,0111 1010 0010 0100 1001 1110 0101 1001 0011 1111 0101 0111 1111(2) × 2-1


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 1010 0010 0100 1001 1110 0101 1001 0011 1111 0101 0111 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 1010 0010 0100 1001 1110 0101 1001 0011 1111 0101 0111 1111 =

0111 1010 0010 0100 1001 1110 0101 1001 0011 1111 0101 0111 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
0111 1010 0010 0100 1001 1110 0101 1001 0011 1111 0101 0111 1111


Numărul zecimal -0,738 560 627 359 831 218 42 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1110 - 0111 1010 0010 0100 1001 1110 0101 1001 0011 1111 0101 0111 1111

» Scriere -0,738 560 627 359 831 218 92 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 11, 2026 [Noiembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Noiembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100