-0,738 560 627 359 831 220 69 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,738 560 627 359 831 220 69(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,738 560 627 359 831 220 69(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,738 560 627 359 831 220 69| = 0,738 560 627 359 831 220 69


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,738 560 627 359 831 220 69.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,738 560 627 359 831 220 69 × 2 = 1 + 0,477 121 254 719 662 441 38;
  • 2) 0,477 121 254 719 662 441 38 × 2 = 0 + 0,954 242 509 439 324 882 76;
  • 3) 0,954 242 509 439 324 882 76 × 2 = 1 + 0,908 485 018 878 649 765 52;
  • 4) 0,908 485 018 878 649 765 52 × 2 = 1 + 0,816 970 037 757 299 531 04;
  • 5) 0,816 970 037 757 299 531 04 × 2 = 1 + 0,633 940 075 514 599 062 08;
  • 6) 0,633 940 075 514 599 062 08 × 2 = 1 + 0,267 880 151 029 198 124 16;
  • 7) 0,267 880 151 029 198 124 16 × 2 = 0 + 0,535 760 302 058 396 248 32;
  • 8) 0,535 760 302 058 396 248 32 × 2 = 1 + 0,071 520 604 116 792 496 64;
  • 9) 0,071 520 604 116 792 496 64 × 2 = 0 + 0,143 041 208 233 584 993 28;
  • 10) 0,143 041 208 233 584 993 28 × 2 = 0 + 0,286 082 416 467 169 986 56;
  • 11) 0,286 082 416 467 169 986 56 × 2 = 0 + 0,572 164 832 934 339 973 12;
  • 12) 0,572 164 832 934 339 973 12 × 2 = 1 + 0,144 329 665 868 679 946 24;
  • 13) 0,144 329 665 868 679 946 24 × 2 = 0 + 0,288 659 331 737 359 892 48;
  • 14) 0,288 659 331 737 359 892 48 × 2 = 0 + 0,577 318 663 474 719 784 96;
  • 15) 0,577 318 663 474 719 784 96 × 2 = 1 + 0,154 637 326 949 439 569 92;
  • 16) 0,154 637 326 949 439 569 92 × 2 = 0 + 0,309 274 653 898 879 139 84;
  • 17) 0,309 274 653 898 879 139 84 × 2 = 0 + 0,618 549 307 797 758 279 68;
  • 18) 0,618 549 307 797 758 279 68 × 2 = 1 + 0,237 098 615 595 516 559 36;
  • 19) 0,237 098 615 595 516 559 36 × 2 = 0 + 0,474 197 231 191 033 118 72;
  • 20) 0,474 197 231 191 033 118 72 × 2 = 0 + 0,948 394 462 382 066 237 44;
  • 21) 0,948 394 462 382 066 237 44 × 2 = 1 + 0,896 788 924 764 132 474 88;
  • 22) 0,896 788 924 764 132 474 88 × 2 = 1 + 0,793 577 849 528 264 949 76;
  • 23) 0,793 577 849 528 264 949 76 × 2 = 1 + 0,587 155 699 056 529 899 52;
  • 24) 0,587 155 699 056 529 899 52 × 2 = 1 + 0,174 311 398 113 059 799 04;
  • 25) 0,174 311 398 113 059 799 04 × 2 = 0 + 0,348 622 796 226 119 598 08;
  • 26) 0,348 622 796 226 119 598 08 × 2 = 0 + 0,697 245 592 452 239 196 16;
  • 27) 0,697 245 592 452 239 196 16 × 2 = 1 + 0,394 491 184 904 478 392 32;
  • 28) 0,394 491 184 904 478 392 32 × 2 = 0 + 0,788 982 369 808 956 784 64;
  • 29) 0,788 982 369 808 956 784 64 × 2 = 1 + 0,577 964 739 617 913 569 28;
  • 30) 0,577 964 739 617 913 569 28 × 2 = 1 + 0,155 929 479 235 827 138 56;
  • 31) 0,155 929 479 235 827 138 56 × 2 = 0 + 0,311 858 958 471 654 277 12;
  • 32) 0,311 858 958 471 654 277 12 × 2 = 0 + 0,623 717 916 943 308 554 24;
  • 33) 0,623 717 916 943 308 554 24 × 2 = 1 + 0,247 435 833 886 617 108 48;
  • 34) 0,247 435 833 886 617 108 48 × 2 = 0 + 0,494 871 667 773 234 216 96;
  • 35) 0,494 871 667 773 234 216 96 × 2 = 0 + 0,989 743 335 546 468 433 92;
  • 36) 0,989 743 335 546 468 433 92 × 2 = 1 + 0,979 486 671 092 936 867 84;
  • 37) 0,979 486 671 092 936 867 84 × 2 = 1 + 0,958 973 342 185 873 735 68;
  • 38) 0,958 973 342 185 873 735 68 × 2 = 1 + 0,917 946 684 371 747 471 36;
  • 39) 0,917 946 684 371 747 471 36 × 2 = 1 + 0,835 893 368 743 494 942 72;
  • 40) 0,835 893 368 743 494 942 72 × 2 = 1 + 0,671 786 737 486 989 885 44;
  • 41) 0,671 786 737 486 989 885 44 × 2 = 1 + 0,343 573 474 973 979 770 88;
  • 42) 0,343 573 474 973 979 770 88 × 2 = 0 + 0,687 146 949 947 959 541 76;
  • 43) 0,687 146 949 947 959 541 76 × 2 = 1 + 0,374 293 899 895 919 083 52;
  • 44) 0,374 293 899 895 919 083 52 × 2 = 0 + 0,748 587 799 791 838 167 04;
  • 45) 0,748 587 799 791 838 167 04 × 2 = 1 + 0,497 175 599 583 676 334 08;
  • 46) 0,497 175 599 583 676 334 08 × 2 = 0 + 0,994 351 199 167 352 668 16;
  • 47) 0,994 351 199 167 352 668 16 × 2 = 1 + 0,988 702 398 334 705 336 32;
  • 48) 0,988 702 398 334 705 336 32 × 2 = 1 + 0,977 404 796 669 410 672 64;
  • 49) 0,977 404 796 669 410 672 64 × 2 = 1 + 0,954 809 593 338 821 345 28;
  • 50) 0,954 809 593 338 821 345 28 × 2 = 1 + 0,909 619 186 677 642 690 56;
  • 51) 0,909 619 186 677 642 690 56 × 2 = 1 + 0,819 238 373 355 285 381 12;
  • 52) 0,819 238 373 355 285 381 12 × 2 = 1 + 0,638 476 746 710 570 762 24;
  • 53) 0,638 476 746 710 570 762 24 × 2 = 1 + 0,276 953 493 421 141 524 48;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,738 560 627 359 831 220 69(10) =

0,1011 1101 0001 0010 0100 1111 0010 1100 1001 1111 1010 1011 1111 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,738 560 627 359 831 220 69(10) =

0,1011 1101 0001 0010 0100 1111 0010 1100 1001 1111 1010 1011 1111 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,738 560 627 359 831 220 69(10) =

0,1011 1101 0001 0010 0100 1111 0010 1100 1001 1111 1010 1011 1111 1(2) =

0,1011 1101 0001 0010 0100 1111 0010 1100 1001 1111 1010 1011 1111 1(2) × 20 =

1,0111 1010 0010 0100 1001 1110 0101 1001 0011 1111 0101 0111 1111(2) × 2-1


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 1010 0010 0100 1001 1110 0101 1001 0011 1111 0101 0111 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 1010 0010 0100 1001 1110 0101 1001 0011 1111 0101 0111 1111 =

0111 1010 0010 0100 1001 1110 0101 1001 0011 1111 0101 0111 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
0111 1010 0010 0100 1001 1110 0101 1001 0011 1111 0101 0111 1111


Numărul zecimal -0,738 560 627 359 831 220 69 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1110 - 0111 1010 0010 0100 1001 1110 0101 1001 0011 1111 0101 0111 1111

» Scriere -0,738 560 627 359 831 220 05 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100