-10 338 712,928 111 641 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -10 338 712,928 111 641(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-10 338 712,928 111 641(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-10 338 712,928 111 641| = 10 338 712,928 111 641


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 10 338 712.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 10 338 712 : 2 = 5 169 356 + 0;
  • 5 169 356 : 2 = 2 584 678 + 0;
  • 2 584 678 : 2 = 1 292 339 + 0;
  • 1 292 339 : 2 = 646 169 + 1;
  • 646 169 : 2 = 323 084 + 1;
  • 323 084 : 2 = 161 542 + 0;
  • 161 542 : 2 = 80 771 + 0;
  • 80 771 : 2 = 40 385 + 1;
  • 40 385 : 2 = 20 192 + 1;
  • 20 192 : 2 = 10 096 + 0;
  • 10 096 : 2 = 5 048 + 0;
  • 5 048 : 2 = 2 524 + 0;
  • 2 524 : 2 = 1 262 + 0;
  • 1 262 : 2 = 631 + 0;
  • 631 : 2 = 315 + 1;
  • 315 : 2 = 157 + 1;
  • 157 : 2 = 78 + 1;
  • 78 : 2 = 39 + 0;
  • 39 : 2 = 19 + 1;
  • 19 : 2 = 9 + 1;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

10 338 712(10) =

1001 1101 1100 0001 1001 1000(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,928 111 641.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,928 111 641 × 2 = 1 + 0,856 223 282;
  • 2) 0,856 223 282 × 2 = 1 + 0,712 446 564;
  • 3) 0,712 446 564 × 2 = 1 + 0,424 893 128;
  • 4) 0,424 893 128 × 2 = 0 + 0,849 786 256;
  • 5) 0,849 786 256 × 2 = 1 + 0,699 572 512;
  • 6) 0,699 572 512 × 2 = 1 + 0,399 145 024;
  • 7) 0,399 145 024 × 2 = 0 + 0,798 290 048;
  • 8) 0,798 290 048 × 2 = 1 + 0,596 580 096;
  • 9) 0,596 580 096 × 2 = 1 + 0,193 160 192;
  • 10) 0,193 160 192 × 2 = 0 + 0,386 320 384;
  • 11) 0,386 320 384 × 2 = 0 + 0,772 640 768;
  • 12) 0,772 640 768 × 2 = 1 + 0,545 281 536;
  • 13) 0,545 281 536 × 2 = 1 + 0,090 563 072;
  • 14) 0,090 563 072 × 2 = 0 + 0,181 126 144;
  • 15) 0,181 126 144 × 2 = 0 + 0,362 252 288;
  • 16) 0,362 252 288 × 2 = 0 + 0,724 504 576;
  • 17) 0,724 504 576 × 2 = 1 + 0,449 009 152;
  • 18) 0,449 009 152 × 2 = 0 + 0,898 018 304;
  • 19) 0,898 018 304 × 2 = 1 + 0,796 036 608;
  • 20) 0,796 036 608 × 2 = 1 + 0,592 073 216;
  • 21) 0,592 073 216 × 2 = 1 + 0,184 146 432;
  • 22) 0,184 146 432 × 2 = 0 + 0,368 292 864;
  • 23) 0,368 292 864 × 2 = 0 + 0,736 585 728;
  • 24) 0,736 585 728 × 2 = 1 + 0,473 171 456;
  • 25) 0,473 171 456 × 2 = 0 + 0,946 342 912;
  • 26) 0,946 342 912 × 2 = 1 + 0,892 685 824;
  • 27) 0,892 685 824 × 2 = 1 + 0,785 371 648;
  • 28) 0,785 371 648 × 2 = 1 + 0,570 743 296;
  • 29) 0,570 743 296 × 2 = 1 + 0,141 486 592;
  • 30) 0,141 486 592 × 2 = 0 + 0,282 973 184;
  • 31) 0,282 973 184 × 2 = 0 + 0,565 946 368;
  • 32) 0,565 946 368 × 2 = 1 + 0,131 892 736;
  • 33) 0,131 892 736 × 2 = 0 + 0,263 785 472;
  • 34) 0,263 785 472 × 2 = 0 + 0,527 570 944;
  • 35) 0,527 570 944 × 2 = 1 + 0,055 141 888;
  • 36) 0,055 141 888 × 2 = 0 + 0,110 283 776;
  • 37) 0,110 283 776 × 2 = 0 + 0,220 567 552;
  • 38) 0,220 567 552 × 2 = 0 + 0,441 135 104;
  • 39) 0,441 135 104 × 2 = 0 + 0,882 270 208;
  • 40) 0,882 270 208 × 2 = 1 + 0,764 540 416;
  • 41) 0,764 540 416 × 2 = 1 + 0,529 080 832;
  • 42) 0,529 080 832 × 2 = 1 + 0,058 161 664;
  • 43) 0,058 161 664 × 2 = 0 + 0,116 323 328;
  • 44) 0,116 323 328 × 2 = 0 + 0,232 646 656;
  • 45) 0,232 646 656 × 2 = 0 + 0,465 293 312;
  • 46) 0,465 293 312 × 2 = 0 + 0,930 586 624;
  • 47) 0,930 586 624 × 2 = 1 + 0,861 173 248;
  • 48) 0,861 173 248 × 2 = 1 + 0,722 346 496;
  • 49) 0,722 346 496 × 2 = 1 + 0,444 692 992;
  • 50) 0,444 692 992 × 2 = 0 + 0,889 385 984;
  • 51) 0,889 385 984 × 2 = 1 + 0,778 771 968;
  • 52) 0,778 771 968 × 2 = 1 + 0,557 543 936;
  • 53) 0,557 543 936 × 2 = 1 + 0,115 087 872;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,928 111 641(10) =

0,1110 1101 1001 1000 1011 1001 0111 1001 0010 0001 1100 0011 1011 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

10 338 712,928 111 641(10) =

1001 1101 1100 0001 1001 1000,1110 1101 1001 1000 1011 1001 0111 1001 0010 0001 1100 0011 1011 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 23 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


10 338 712,928 111 641(10) =

1001 1101 1100 0001 1001 1000,1110 1101 1001 1000 1011 1001 0111 1001 0010 0001 1100 0011 1011 1(2) =

1001 1101 1100 0001 1001 1000,1110 1101 1001 1000 1011 1001 0111 1001 0010 0001 1100 0011 1011 1(2) × 20 =

1,0011 1011 1000 0011 0011 0001 1101 1011 0011 0001 0111 0010 1111 0010 0100 0011 1000 0111 0111(2) × 223


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 23

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1011 1000 0011 0011 0001 1101 1011 0011 0001 0111 0010 1111 0010 0100 0011 1000 0111 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

23 + 2(11-1) - 1 =

(23 + 1 023)(10) =

1 046(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 046 : 2 = 523 + 0;
  • 523 : 2 = 261 + 1;
  • 261 : 2 = 130 + 1;
  • 130 : 2 = 65 + 0;
  • 65 : 2 = 32 + 1;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1046(10) =

100 0001 0110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1011 1000 0011 0011 0001 1101 1011 0011 0001 0111 0010 1111 0010 0100 0011 1000 0111 0111 =

0011 1011 1000 0011 0011 0001 1101 1011 0011 0001 0111 0010 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0001 0110

Mantisă (52 biți) =
0011 1011 1000 0011 0011 0001 1101 1011 0011 0001 0111 0010 1111


Numărul zecimal -10 338 712,928 111 641 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0001 0110 - 0011 1011 1000 0011 0011 0001 1101 1011 0011 0001 0111 0010 1111

Distribuie

» Scriere -10 338 712,928 111 654 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100