-1 036,699 999 999 999 687 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -1 036,699 999 999 999 687(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-1 036,699 999 999 999 687(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-1 036,699 999 999 999 687| = 1 036,699 999 999 999 687


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1 036.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 036 : 2 = 518 + 0;
  • 518 : 2 = 259 + 0;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1 036(10) =

100 0000 1100(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,699 999 999 999 687.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,699 999 999 999 687 × 2 = 1 + 0,399 999 999 999 374;
  • 2) 0,399 999 999 999 374 × 2 = 0 + 0,799 999 999 998 748;
  • 3) 0,799 999 999 998 748 × 2 = 1 + 0,599 999 999 997 496;
  • 4) 0,599 999 999 997 496 × 2 = 1 + 0,199 999 999 994 992;
  • 5) 0,199 999 999 994 992 × 2 = 0 + 0,399 999 999 989 984;
  • 6) 0,399 999 999 989 984 × 2 = 0 + 0,799 999 999 979 968;
  • 7) 0,799 999 999 979 968 × 2 = 1 + 0,599 999 999 959 936;
  • 8) 0,599 999 999 959 936 × 2 = 1 + 0,199 999 999 919 872;
  • 9) 0,199 999 999 919 872 × 2 = 0 + 0,399 999 999 839 744;
  • 10) 0,399 999 999 839 744 × 2 = 0 + 0,799 999 999 679 488;
  • 11) 0,799 999 999 679 488 × 2 = 1 + 0,599 999 999 358 976;
  • 12) 0,599 999 999 358 976 × 2 = 1 + 0,199 999 998 717 952;
  • 13) 0,199 999 998 717 952 × 2 = 0 + 0,399 999 997 435 904;
  • 14) 0,399 999 997 435 904 × 2 = 0 + 0,799 999 994 871 808;
  • 15) 0,799 999 994 871 808 × 2 = 1 + 0,599 999 989 743 616;
  • 16) 0,599 999 989 743 616 × 2 = 1 + 0,199 999 979 487 232;
  • 17) 0,199 999 979 487 232 × 2 = 0 + 0,399 999 958 974 464;
  • 18) 0,399 999 958 974 464 × 2 = 0 + 0,799 999 917 948 928;
  • 19) 0,799 999 917 948 928 × 2 = 1 + 0,599 999 835 897 856;
  • 20) 0,599 999 835 897 856 × 2 = 1 + 0,199 999 671 795 712;
  • 21) 0,199 999 671 795 712 × 2 = 0 + 0,399 999 343 591 424;
  • 22) 0,399 999 343 591 424 × 2 = 0 + 0,799 998 687 182 848;
  • 23) 0,799 998 687 182 848 × 2 = 1 + 0,599 997 374 365 696;
  • 24) 0,599 997 374 365 696 × 2 = 1 + 0,199 994 748 731 392;
  • 25) 0,199 994 748 731 392 × 2 = 0 + 0,399 989 497 462 784;
  • 26) 0,399 989 497 462 784 × 2 = 0 + 0,799 978 994 925 568;
  • 27) 0,799 978 994 925 568 × 2 = 1 + 0,599 957 989 851 136;
  • 28) 0,599 957 989 851 136 × 2 = 1 + 0,199 915 979 702 272;
  • 29) 0,199 915 979 702 272 × 2 = 0 + 0,399 831 959 404 544;
  • 30) 0,399 831 959 404 544 × 2 = 0 + 0,799 663 918 809 088;
  • 31) 0,799 663 918 809 088 × 2 = 1 + 0,599 327 837 618 176;
  • 32) 0,599 327 837 618 176 × 2 = 1 + 0,198 655 675 236 352;
  • 33) 0,198 655 675 236 352 × 2 = 0 + 0,397 311 350 472 704;
  • 34) 0,397 311 350 472 704 × 2 = 0 + 0,794 622 700 945 408;
  • 35) 0,794 622 700 945 408 × 2 = 1 + 0,589 245 401 890 816;
  • 36) 0,589 245 401 890 816 × 2 = 1 + 0,178 490 803 781 632;
  • 37) 0,178 490 803 781 632 × 2 = 0 + 0,356 981 607 563 264;
  • 38) 0,356 981 607 563 264 × 2 = 0 + 0,713 963 215 126 528;
  • 39) 0,713 963 215 126 528 × 2 = 1 + 0,427 926 430 253 056;
  • 40) 0,427 926 430 253 056 × 2 = 0 + 0,855 852 860 506 112;
  • 41) 0,855 852 860 506 112 × 2 = 1 + 0,711 705 721 012 224;
  • 42) 0,711 705 721 012 224 × 2 = 1 + 0,423 411 442 024 448;
  • 43) 0,423 411 442 024 448 × 2 = 0 + 0,846 822 884 048 896;
  • 44) 0,846 822 884 048 896 × 2 = 1 + 0,693 645 768 097 792;
  • 45) 0,693 645 768 097 792 × 2 = 1 + 0,387 291 536 195 584;
  • 46) 0,387 291 536 195 584 × 2 = 0 + 0,774 583 072 391 168;
  • 47) 0,774 583 072 391 168 × 2 = 1 + 0,549 166 144 782 336;
  • 48) 0,549 166 144 782 336 × 2 = 1 + 0,098 332 289 564 672;
  • 49) 0,098 332 289 564 672 × 2 = 0 + 0,196 664 579 129 344;
  • 50) 0,196 664 579 129 344 × 2 = 0 + 0,393 329 158 258 688;
  • 51) 0,393 329 158 258 688 × 2 = 0 + 0,786 658 316 517 376;
  • 52) 0,786 658 316 517 376 × 2 = 1 + 0,573 316 633 034 752;
  • 53) 0,573 316 633 034 752 × 2 = 1 + 0,146 633 266 069 504;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,699 999 999 999 687(10) =

0,1011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010 1101 1011 0001 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1 036,699 999 999 999 687(10) =

100 0000 1100,1011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010 1101 1011 0001 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 10 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1 036,699 999 999 999 687(10) =

100 0000 1100,1011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010 1101 1011 0001 1(2) =

100 0000 1100,1011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010 1101 1011 0001 1(2) × 20 =

1,0000 0011 0010 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 0110 1100 011(2) × 210


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 10

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0011 0010 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 0110 1100 011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

10 + 2(11-1) - 1 =

(10 + 1 023)(10) =

1 033(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 033 : 2 = 516 + 1;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1033(10) =

100 0000 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0011 0010 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 011 0110 0011 =

0000 0011 0010 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1001

Mantisă (52 biți) =
0000 0011 0010 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011


Numărul zecimal -1 036,699 999 999 999 687 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 1001 - 0000 0011 0010 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011

Distribuie

» Scriere -1 036,699 999 999 999 779 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100