-1 036,699 999 999 999 812 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -1 036,699 999 999 999 812 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-1 036,699 999 999 999 812 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-1 036,699 999 999 999 812 6| = 1 036,699 999 999 999 812 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1 036.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 036 : 2 = 518 + 0;
  • 518 : 2 = 259 + 0;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1 036(10) =

100 0000 1100(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,699 999 999 999 812 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,699 999 999 999 812 6 × 2 = 1 + 0,399 999 999 999 625 2;
  • 2) 0,399 999 999 999 625 2 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 250 4;
  • 3) 0,799 999 999 999 250 4 × 2 = 1 + 0,599 999 999 998 500 8;
  • 4) 0,599 999 999 998 500 8 × 2 = 1 + 0,199 999 999 997 001 6;
  • 5) 0,199 999 999 997 001 6 × 2 = 0 + 0,399 999 999 994 003 2;
  • 6) 0,399 999 999 994 003 2 × 2 = 0 + 0,799 999 999 988 006 4;
  • 7) 0,799 999 999 988 006 4 × 2 = 1 + 0,599 999 999 976 012 8;
  • 8) 0,599 999 999 976 012 8 × 2 = 1 + 0,199 999 999 952 025 6;
  • 9) 0,199 999 999 952 025 6 × 2 = 0 + 0,399 999 999 904 051 2;
  • 10) 0,399 999 999 904 051 2 × 2 = 0 + 0,799 999 999 808 102 4;
  • 11) 0,799 999 999 808 102 4 × 2 = 1 + 0,599 999 999 616 204 8;
  • 12) 0,599 999 999 616 204 8 × 2 = 1 + 0,199 999 999 232 409 6;
  • 13) 0,199 999 999 232 409 6 × 2 = 0 + 0,399 999 998 464 819 2;
  • 14) 0,399 999 998 464 819 2 × 2 = 0 + 0,799 999 996 929 638 4;
  • 15) 0,799 999 996 929 638 4 × 2 = 1 + 0,599 999 993 859 276 8;
  • 16) 0,599 999 993 859 276 8 × 2 = 1 + 0,199 999 987 718 553 6;
  • 17) 0,199 999 987 718 553 6 × 2 = 0 + 0,399 999 975 437 107 2;
  • 18) 0,399 999 975 437 107 2 × 2 = 0 + 0,799 999 950 874 214 4;
  • 19) 0,799 999 950 874 214 4 × 2 = 1 + 0,599 999 901 748 428 8;
  • 20) 0,599 999 901 748 428 8 × 2 = 1 + 0,199 999 803 496 857 6;
  • 21) 0,199 999 803 496 857 6 × 2 = 0 + 0,399 999 606 993 715 2;
  • 22) 0,399 999 606 993 715 2 × 2 = 0 + 0,799 999 213 987 430 4;
  • 23) 0,799 999 213 987 430 4 × 2 = 1 + 0,599 998 427 974 860 8;
  • 24) 0,599 998 427 974 860 8 × 2 = 1 + 0,199 996 855 949 721 6;
  • 25) 0,199 996 855 949 721 6 × 2 = 0 + 0,399 993 711 899 443 2;
  • 26) 0,399 993 711 899 443 2 × 2 = 0 + 0,799 987 423 798 886 4;
  • 27) 0,799 987 423 798 886 4 × 2 = 1 + 0,599 974 847 597 772 8;
  • 28) 0,599 974 847 597 772 8 × 2 = 1 + 0,199 949 695 195 545 6;
  • 29) 0,199 949 695 195 545 6 × 2 = 0 + 0,399 899 390 391 091 2;
  • 30) 0,399 899 390 391 091 2 × 2 = 0 + 0,799 798 780 782 182 4;
  • 31) 0,799 798 780 782 182 4 × 2 = 1 + 0,599 597 561 564 364 8;
  • 32) 0,599 597 561 564 364 8 × 2 = 1 + 0,199 195 123 128 729 6;
  • 33) 0,199 195 123 128 729 6 × 2 = 0 + 0,398 390 246 257 459 2;
  • 34) 0,398 390 246 257 459 2 × 2 = 0 + 0,796 780 492 514 918 4;
  • 35) 0,796 780 492 514 918 4 × 2 = 1 + 0,593 560 985 029 836 8;
  • 36) 0,593 560 985 029 836 8 × 2 = 1 + 0,187 121 970 059 673 6;
  • 37) 0,187 121 970 059 673 6 × 2 = 0 + 0,374 243 940 119 347 2;
  • 38) 0,374 243 940 119 347 2 × 2 = 0 + 0,748 487 880 238 694 4;
  • 39) 0,748 487 880 238 694 4 × 2 = 1 + 0,496 975 760 477 388 8;
  • 40) 0,496 975 760 477 388 8 × 2 = 0 + 0,993 951 520 954 777 6;
  • 41) 0,993 951 520 954 777 6 × 2 = 1 + 0,987 903 041 909 555 2;
  • 42) 0,987 903 041 909 555 2 × 2 = 1 + 0,975 806 083 819 110 4;
  • 43) 0,975 806 083 819 110 4 × 2 = 1 + 0,951 612 167 638 220 8;
  • 44) 0,951 612 167 638 220 8 × 2 = 1 + 0,903 224 335 276 441 6;
  • 45) 0,903 224 335 276 441 6 × 2 = 1 + 0,806 448 670 552 883 2;
  • 46) 0,806 448 670 552 883 2 × 2 = 1 + 0,612 897 341 105 766 4;
  • 47) 0,612 897 341 105 766 4 × 2 = 1 + 0,225 794 682 211 532 8;
  • 48) 0,225 794 682 211 532 8 × 2 = 0 + 0,451 589 364 423 065 6;
  • 49) 0,451 589 364 423 065 6 × 2 = 0 + 0,903 178 728 846 131 2;
  • 50) 0,903 178 728 846 131 2 × 2 = 1 + 0,806 357 457 692 262 4;
  • 51) 0,806 357 457 692 262 4 × 2 = 1 + 0,612 714 915 384 524 8;
  • 52) 0,612 714 915 384 524 8 × 2 = 1 + 0,225 429 830 769 049 6;
  • 53) 0,225 429 830 769 049 6 × 2 = 0 + 0,450 859 661 538 099 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,699 999 999 999 812 6(10) =

0,1011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010 1111 1110 0111 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1 036,699 999 999 999 812 6(10) =

100 0000 1100,1011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010 1111 1110 0111 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 10 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1 036,699 999 999 999 812 6(10) =

100 0000 1100,1011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010 1111 1110 0111 0(2) =

100 0000 1100,1011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010 1111 1110 0111 0(2) × 20 =

1,0000 0011 0010 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 1111 1001 110(2) × 210


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 10

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0011 0010 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 1111 1001 110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

10 + 2(11-1) - 1 =

(10 + 1 023)(10) =

1 033(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 033 : 2 = 516 + 1;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1033(10) =

100 0000 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0011 0010 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 111 1100 1110 =

0000 0011 0010 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1001

Mantisă (52 biți) =
0000 0011 0010 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011


Numărul zecimal -1 036,699 999 999 999 812 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 1001 - 0000 0011 0010 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011

Distribuie

» Scriere -1 036,699 999 999 999 803 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100