-1 036,699 999 999 999 837 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -1 036,699 999 999 999 837(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-1 036,699 999 999 999 837(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-1 036,699 999 999 999 837| = 1 036,699 999 999 999 837


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1 036.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 036 : 2 = 518 + 0;
  • 518 : 2 = 259 + 0;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1 036(10) =

100 0000 1100(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,699 999 999 999 837.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,699 999 999 999 837 × 2 = 1 + 0,399 999 999 999 674;
  • 2) 0,399 999 999 999 674 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 348;
  • 3) 0,799 999 999 999 348 × 2 = 1 + 0,599 999 999 998 696;
  • 4) 0,599 999 999 998 696 × 2 = 1 + 0,199 999 999 997 392;
  • 5) 0,199 999 999 997 392 × 2 = 0 + 0,399 999 999 994 784;
  • 6) 0,399 999 999 994 784 × 2 = 0 + 0,799 999 999 989 568;
  • 7) 0,799 999 999 989 568 × 2 = 1 + 0,599 999 999 979 136;
  • 8) 0,599 999 999 979 136 × 2 = 1 + 0,199 999 999 958 272;
  • 9) 0,199 999 999 958 272 × 2 = 0 + 0,399 999 999 916 544;
  • 10) 0,399 999 999 916 544 × 2 = 0 + 0,799 999 999 833 088;
  • 11) 0,799 999 999 833 088 × 2 = 1 + 0,599 999 999 666 176;
  • 12) 0,599 999 999 666 176 × 2 = 1 + 0,199 999 999 332 352;
  • 13) 0,199 999 999 332 352 × 2 = 0 + 0,399 999 998 664 704;
  • 14) 0,399 999 998 664 704 × 2 = 0 + 0,799 999 997 329 408;
  • 15) 0,799 999 997 329 408 × 2 = 1 + 0,599 999 994 658 816;
  • 16) 0,599 999 994 658 816 × 2 = 1 + 0,199 999 989 317 632;
  • 17) 0,199 999 989 317 632 × 2 = 0 + 0,399 999 978 635 264;
  • 18) 0,399 999 978 635 264 × 2 = 0 + 0,799 999 957 270 528;
  • 19) 0,799 999 957 270 528 × 2 = 1 + 0,599 999 914 541 056;
  • 20) 0,599 999 914 541 056 × 2 = 1 + 0,199 999 829 082 112;
  • 21) 0,199 999 829 082 112 × 2 = 0 + 0,399 999 658 164 224;
  • 22) 0,399 999 658 164 224 × 2 = 0 + 0,799 999 316 328 448;
  • 23) 0,799 999 316 328 448 × 2 = 1 + 0,599 998 632 656 896;
  • 24) 0,599 998 632 656 896 × 2 = 1 + 0,199 997 265 313 792;
  • 25) 0,199 997 265 313 792 × 2 = 0 + 0,399 994 530 627 584;
  • 26) 0,399 994 530 627 584 × 2 = 0 + 0,799 989 061 255 168;
  • 27) 0,799 989 061 255 168 × 2 = 1 + 0,599 978 122 510 336;
  • 28) 0,599 978 122 510 336 × 2 = 1 + 0,199 956 245 020 672;
  • 29) 0,199 956 245 020 672 × 2 = 0 + 0,399 912 490 041 344;
  • 30) 0,399 912 490 041 344 × 2 = 0 + 0,799 824 980 082 688;
  • 31) 0,799 824 980 082 688 × 2 = 1 + 0,599 649 960 165 376;
  • 32) 0,599 649 960 165 376 × 2 = 1 + 0,199 299 920 330 752;
  • 33) 0,199 299 920 330 752 × 2 = 0 + 0,398 599 840 661 504;
  • 34) 0,398 599 840 661 504 × 2 = 0 + 0,797 199 681 323 008;
  • 35) 0,797 199 681 323 008 × 2 = 1 + 0,594 399 362 646 016;
  • 36) 0,594 399 362 646 016 × 2 = 1 + 0,188 798 725 292 032;
  • 37) 0,188 798 725 292 032 × 2 = 0 + 0,377 597 450 584 064;
  • 38) 0,377 597 450 584 064 × 2 = 0 + 0,755 194 901 168 128;
  • 39) 0,755 194 901 168 128 × 2 = 1 + 0,510 389 802 336 256;
  • 40) 0,510 389 802 336 256 × 2 = 1 + 0,020 779 604 672 512;
  • 41) 0,020 779 604 672 512 × 2 = 0 + 0,041 559 209 345 024;
  • 42) 0,041 559 209 345 024 × 2 = 0 + 0,083 118 418 690 048;
  • 43) 0,083 118 418 690 048 × 2 = 0 + 0,166 236 837 380 096;
  • 44) 0,166 236 837 380 096 × 2 = 0 + 0,332 473 674 760 192;
  • 45) 0,332 473 674 760 192 × 2 = 0 + 0,664 947 349 520 384;
  • 46) 0,664 947 349 520 384 × 2 = 1 + 0,329 894 699 040 768;
  • 47) 0,329 894 699 040 768 × 2 = 0 + 0,659 789 398 081 536;
  • 48) 0,659 789 398 081 536 × 2 = 1 + 0,319 578 796 163 072;
  • 49) 0,319 578 796 163 072 × 2 = 0 + 0,639 157 592 326 144;
  • 50) 0,639 157 592 326 144 × 2 = 1 + 0,278 315 184 652 288;
  • 51) 0,278 315 184 652 288 × 2 = 0 + 0,556 630 369 304 576;
  • 52) 0,556 630 369 304 576 × 2 = 1 + 0,113 260 738 609 152;
  • 53) 0,113 260 738 609 152 × 2 = 0 + 0,226 521 477 218 304;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,699 999 999 999 837(10) =

0,1011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0000 0101 0101 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1 036,699 999 999 999 837(10) =

100 0000 1100,1011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0000 0101 0101 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 10 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1 036,699 999 999 999 837(10) =

100 0000 1100,1011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0000 0101 0101 0(2) =

100 0000 1100,1011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0000 0101 0101 0(2) × 20 =

1,0000 0011 0010 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0001 0101 010(2) × 210


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 10

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0011 0010 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0001 0101 010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

10 + 2(11-1) - 1 =

(10 + 1 023)(10) =

1 033(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 033 : 2 = 516 + 1;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1033(10) =

100 0000 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0011 0010 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 000 1010 1010 =

0000 0011 0010 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1001

Mantisă (52 biți) =
0000 0011 0010 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100


Numărul zecimal -1 036,699 999 999 999 837 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 1001 - 0000 0011 0010 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100

Distribuie

» Scriere -1 036,699 999 999 999 884 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100