-1 302,123 456 789 012 348 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -1 302,123 456 789 012 348 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-1 302,123 456 789 012 348 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-1 302,123 456 789 012 348 9| = 1 302,123 456 789 012 348 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1 302.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 302 : 2 = 651 + 0;
  • 651 : 2 = 325 + 1;
  • 325 : 2 = 162 + 1;
  • 162 : 2 = 81 + 0;
  • 81 : 2 = 40 + 1;
  • 40 : 2 = 20 + 0;
  • 20 : 2 = 10 + 0;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1 302(10) =

101 0001 0110(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,123 456 789 012 348 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,123 456 789 012 348 9 × 2 = 0 + 0,246 913 578 024 697 8;
  • 2) 0,246 913 578 024 697 8 × 2 = 0 + 0,493 827 156 049 395 6;
  • 3) 0,493 827 156 049 395 6 × 2 = 0 + 0,987 654 312 098 791 2;
  • 4) 0,987 654 312 098 791 2 × 2 = 1 + 0,975 308 624 197 582 4;
  • 5) 0,975 308 624 197 582 4 × 2 = 1 + 0,950 617 248 395 164 8;
  • 6) 0,950 617 248 395 164 8 × 2 = 1 + 0,901 234 496 790 329 6;
  • 7) 0,901 234 496 790 329 6 × 2 = 1 + 0,802 468 993 580 659 2;
  • 8) 0,802 468 993 580 659 2 × 2 = 1 + 0,604 937 987 161 318 4;
  • 9) 0,604 937 987 161 318 4 × 2 = 1 + 0,209 875 974 322 636 8;
  • 10) 0,209 875 974 322 636 8 × 2 = 0 + 0,419 751 948 645 273 6;
  • 11) 0,419 751 948 645 273 6 × 2 = 0 + 0,839 503 897 290 547 2;
  • 12) 0,839 503 897 290 547 2 × 2 = 1 + 0,679 007 794 581 094 4;
  • 13) 0,679 007 794 581 094 4 × 2 = 1 + 0,358 015 589 162 188 8;
  • 14) 0,358 015 589 162 188 8 × 2 = 0 + 0,716 031 178 324 377 6;
  • 15) 0,716 031 178 324 377 6 × 2 = 1 + 0,432 062 356 648 755 2;
  • 16) 0,432 062 356 648 755 2 × 2 = 0 + 0,864 124 713 297 510 4;
  • 17) 0,864 124 713 297 510 4 × 2 = 1 + 0,728 249 426 595 020 8;
  • 18) 0,728 249 426 595 020 8 × 2 = 1 + 0,456 498 853 190 041 6;
  • 19) 0,456 498 853 190 041 6 × 2 = 0 + 0,912 997 706 380 083 2;
  • 20) 0,912 997 706 380 083 2 × 2 = 1 + 0,825 995 412 760 166 4;
  • 21) 0,825 995 412 760 166 4 × 2 = 1 + 0,651 990 825 520 332 8;
  • 22) 0,651 990 825 520 332 8 × 2 = 1 + 0,303 981 651 040 665 6;
  • 23) 0,303 981 651 040 665 6 × 2 = 0 + 0,607 963 302 081 331 2;
  • 24) 0,607 963 302 081 331 2 × 2 = 1 + 0,215 926 604 162 662 4;
  • 25) 0,215 926 604 162 662 4 × 2 = 0 + 0,431 853 208 325 324 8;
  • 26) 0,431 853 208 325 324 8 × 2 = 0 + 0,863 706 416 650 649 6;
  • 27) 0,863 706 416 650 649 6 × 2 = 1 + 0,727 412 833 301 299 2;
  • 28) 0,727 412 833 301 299 2 × 2 = 1 + 0,454 825 666 602 598 4;
  • 29) 0,454 825 666 602 598 4 × 2 = 0 + 0,909 651 333 205 196 8;
  • 30) 0,909 651 333 205 196 8 × 2 = 1 + 0,819 302 666 410 393 6;
  • 31) 0,819 302 666 410 393 6 × 2 = 1 + 0,638 605 332 820 787 2;
  • 32) 0,638 605 332 820 787 2 × 2 = 1 + 0,277 210 665 641 574 4;
  • 33) 0,277 210 665 641 574 4 × 2 = 0 + 0,554 421 331 283 148 8;
  • 34) 0,554 421 331 283 148 8 × 2 = 1 + 0,108 842 662 566 297 6;
  • 35) 0,108 842 662 566 297 6 × 2 = 0 + 0,217 685 325 132 595 2;
  • 36) 0,217 685 325 132 595 2 × 2 = 0 + 0,435 370 650 265 190 4;
  • 37) 0,435 370 650 265 190 4 × 2 = 0 + 0,870 741 300 530 380 8;
  • 38) 0,870 741 300 530 380 8 × 2 = 1 + 0,741 482 601 060 761 6;
  • 39) 0,741 482 601 060 761 6 × 2 = 1 + 0,482 965 202 121 523 2;
  • 40) 0,482 965 202 121 523 2 × 2 = 0 + 0,965 930 404 243 046 4;
  • 41) 0,965 930 404 243 046 4 × 2 = 1 + 0,931 860 808 486 092 8;
  • 42) 0,931 860 808 486 092 8 × 2 = 1 + 0,863 721 616 972 185 6;
  • 43) 0,863 721 616 972 185 6 × 2 = 1 + 0,727 443 233 944 371 2;
  • 44) 0,727 443 233 944 371 2 × 2 = 1 + 0,454 886 467 888 742 4;
  • 45) 0,454 886 467 888 742 4 × 2 = 0 + 0,909 772 935 777 484 8;
  • 46) 0,909 772 935 777 484 8 × 2 = 1 + 0,819 545 871 554 969 6;
  • 47) 0,819 545 871 554 969 6 × 2 = 1 + 0,639 091 743 109 939 2;
  • 48) 0,639 091 743 109 939 2 × 2 = 1 + 0,278 183 486 219 878 4;
  • 49) 0,278 183 486 219 878 4 × 2 = 0 + 0,556 366 972 439 756 8;
  • 50) 0,556 366 972 439 756 8 × 2 = 1 + 0,112 733 944 879 513 6;
  • 51) 0,112 733 944 879 513 6 × 2 = 0 + 0,225 467 889 759 027 2;
  • 52) 0,225 467 889 759 027 2 × 2 = 0 + 0,450 935 779 518 054 4;
  • 53) 0,450 935 779 518 054 4 × 2 = 0 + 0,901 871 559 036 108 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,123 456 789 012 348 9(10) =

0,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0011 0111 0100 0110 1111 0111 0100 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1 302,123 456 789 012 348 9(10) =

101 0001 0110,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0011 0111 0100 0110 1111 0111 0100 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 10 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1 302,123 456 789 012 348 9(10) =

101 0001 0110,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0011 0111 0100 0110 1111 0111 0100 0(2) =

101 0001 0110,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0011 0111 0100 0110 1111 0111 0100 0(2) × 20 =

1,0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011 1101 1101 000(2) × 210


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 10

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011 1101 1101 000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

10 + 2(11-1) - 1 =

(10 + 1 023)(10) =

1 033(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 033 : 2 = 516 + 1;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1033(10) =

100 0000 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011 110 1110 1000 =

0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1001

Mantisă (52 biți) =
0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011


Numărul zecimal -1 302,123 456 789 012 348 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 1001 - 0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011

Distribuie

» Scriere -1 302,123 456 789 012 357 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100