-1 302,123 456 789 012 355 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -1 302,123 456 789 012 355 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-1 302,123 456 789 012 355 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-1 302,123 456 789 012 355 9| = 1 302,123 456 789 012 355 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1 302.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 302 : 2 = 651 + 0;
  • 651 : 2 = 325 + 1;
  • 325 : 2 = 162 + 1;
  • 162 : 2 = 81 + 0;
  • 81 : 2 = 40 + 1;
  • 40 : 2 = 20 + 0;
  • 20 : 2 = 10 + 0;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1 302(10) =

101 0001 0110(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,123 456 789 012 355 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,123 456 789 012 355 9 × 2 = 0 + 0,246 913 578 024 711 8;
  • 2) 0,246 913 578 024 711 8 × 2 = 0 + 0,493 827 156 049 423 6;
  • 3) 0,493 827 156 049 423 6 × 2 = 0 + 0,987 654 312 098 847 2;
  • 4) 0,987 654 312 098 847 2 × 2 = 1 + 0,975 308 624 197 694 4;
  • 5) 0,975 308 624 197 694 4 × 2 = 1 + 0,950 617 248 395 388 8;
  • 6) 0,950 617 248 395 388 8 × 2 = 1 + 0,901 234 496 790 777 6;
  • 7) 0,901 234 496 790 777 6 × 2 = 1 + 0,802 468 993 581 555 2;
  • 8) 0,802 468 993 581 555 2 × 2 = 1 + 0,604 937 987 163 110 4;
  • 9) 0,604 937 987 163 110 4 × 2 = 1 + 0,209 875 974 326 220 8;
  • 10) 0,209 875 974 326 220 8 × 2 = 0 + 0,419 751 948 652 441 6;
  • 11) 0,419 751 948 652 441 6 × 2 = 0 + 0,839 503 897 304 883 2;
  • 12) 0,839 503 897 304 883 2 × 2 = 1 + 0,679 007 794 609 766 4;
  • 13) 0,679 007 794 609 766 4 × 2 = 1 + 0,358 015 589 219 532 8;
  • 14) 0,358 015 589 219 532 8 × 2 = 0 + 0,716 031 178 439 065 6;
  • 15) 0,716 031 178 439 065 6 × 2 = 1 + 0,432 062 356 878 131 2;
  • 16) 0,432 062 356 878 131 2 × 2 = 0 + 0,864 124 713 756 262 4;
  • 17) 0,864 124 713 756 262 4 × 2 = 1 + 0,728 249 427 512 524 8;
  • 18) 0,728 249 427 512 524 8 × 2 = 1 + 0,456 498 855 025 049 6;
  • 19) 0,456 498 855 025 049 6 × 2 = 0 + 0,912 997 710 050 099 2;
  • 20) 0,912 997 710 050 099 2 × 2 = 1 + 0,825 995 420 100 198 4;
  • 21) 0,825 995 420 100 198 4 × 2 = 1 + 0,651 990 840 200 396 8;
  • 22) 0,651 990 840 200 396 8 × 2 = 1 + 0,303 981 680 400 793 6;
  • 23) 0,303 981 680 400 793 6 × 2 = 0 + 0,607 963 360 801 587 2;
  • 24) 0,607 963 360 801 587 2 × 2 = 1 + 0,215 926 721 603 174 4;
  • 25) 0,215 926 721 603 174 4 × 2 = 0 + 0,431 853 443 206 348 8;
  • 26) 0,431 853 443 206 348 8 × 2 = 0 + 0,863 706 886 412 697 6;
  • 27) 0,863 706 886 412 697 6 × 2 = 1 + 0,727 413 772 825 395 2;
  • 28) 0,727 413 772 825 395 2 × 2 = 1 + 0,454 827 545 650 790 4;
  • 29) 0,454 827 545 650 790 4 × 2 = 0 + 0,909 655 091 301 580 8;
  • 30) 0,909 655 091 301 580 8 × 2 = 1 + 0,819 310 182 603 161 6;
  • 31) 0,819 310 182 603 161 6 × 2 = 1 + 0,638 620 365 206 323 2;
  • 32) 0,638 620 365 206 323 2 × 2 = 1 + 0,277 240 730 412 646 4;
  • 33) 0,277 240 730 412 646 4 × 2 = 0 + 0,554 481 460 825 292 8;
  • 34) 0,554 481 460 825 292 8 × 2 = 1 + 0,108 962 921 650 585 6;
  • 35) 0,108 962 921 650 585 6 × 2 = 0 + 0,217 925 843 301 171 2;
  • 36) 0,217 925 843 301 171 2 × 2 = 0 + 0,435 851 686 602 342 4;
  • 37) 0,435 851 686 602 342 4 × 2 = 0 + 0,871 703 373 204 684 8;
  • 38) 0,871 703 373 204 684 8 × 2 = 1 + 0,743 406 746 409 369 6;
  • 39) 0,743 406 746 409 369 6 × 2 = 1 + 0,486 813 492 818 739 2;
  • 40) 0,486 813 492 818 739 2 × 2 = 0 + 0,973 626 985 637 478 4;
  • 41) 0,973 626 985 637 478 4 × 2 = 1 + 0,947 253 971 274 956 8;
  • 42) 0,947 253 971 274 956 8 × 2 = 1 + 0,894 507 942 549 913 6;
  • 43) 0,894 507 942 549 913 6 × 2 = 1 + 0,789 015 885 099 827 2;
  • 44) 0,789 015 885 099 827 2 × 2 = 1 + 0,578 031 770 199 654 4;
  • 45) 0,578 031 770 199 654 4 × 2 = 1 + 0,156 063 540 399 308 8;
  • 46) 0,156 063 540 399 308 8 × 2 = 0 + 0,312 127 080 798 617 6;
  • 47) 0,312 127 080 798 617 6 × 2 = 0 + 0,624 254 161 597 235 2;
  • 48) 0,624 254 161 597 235 2 × 2 = 1 + 0,248 508 323 194 470 4;
  • 49) 0,248 508 323 194 470 4 × 2 = 0 + 0,497 016 646 388 940 8;
  • 50) 0,497 016 646 388 940 8 × 2 = 0 + 0,994 033 292 777 881 6;
  • 51) 0,994 033 292 777 881 6 × 2 = 1 + 0,988 066 585 555 763 2;
  • 52) 0,988 066 585 555 763 2 × 2 = 1 + 0,976 133 171 111 526 4;
  • 53) 0,976 133 171 111 526 4 × 2 = 1 + 0,952 266 342 223 052 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,123 456 789 012 355 9(10) =

0,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0011 0111 0100 0110 1111 1001 0011 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1 302,123 456 789 012 355 9(10) =

101 0001 0110,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0011 0111 0100 0110 1111 1001 0011 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 10 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1 302,123 456 789 012 355 9(10) =

101 0001 0110,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0011 0111 0100 0110 1111 1001 0011 1(2) =

101 0001 0110,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0011 0111 0100 0110 1111 1001 0011 1(2) × 20 =

1,0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011 1110 0100 111(2) × 210


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 10

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011 1110 0100 111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

10 + 2(11-1) - 1 =

(10 + 1 023)(10) =

1 033(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 033 : 2 = 516 + 1;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1033(10) =

100 0000 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011 111 0010 0111 =

0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1001

Mantisă (52 biți) =
0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011


Numărul zecimal -1 302,123 456 789 012 355 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 1001 - 0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011

Distribuie

» Scriere -1 302,123 456 789 012 356 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100