-1 302,123 456 789 012 357 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -1 302,123 456 789 012 357 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-1 302,123 456 789 012 357 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-1 302,123 456 789 012 357 1| = 1 302,123 456 789 012 357 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1 302.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 302 : 2 = 651 + 0;
  • 651 : 2 = 325 + 1;
  • 325 : 2 = 162 + 1;
  • 162 : 2 = 81 + 0;
  • 81 : 2 = 40 + 1;
  • 40 : 2 = 20 + 0;
  • 20 : 2 = 10 + 0;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1 302(10) =

101 0001 0110(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,123 456 789 012 357 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,123 456 789 012 357 1 × 2 = 0 + 0,246 913 578 024 714 2;
  • 2) 0,246 913 578 024 714 2 × 2 = 0 + 0,493 827 156 049 428 4;
  • 3) 0,493 827 156 049 428 4 × 2 = 0 + 0,987 654 312 098 856 8;
  • 4) 0,987 654 312 098 856 8 × 2 = 1 + 0,975 308 624 197 713 6;
  • 5) 0,975 308 624 197 713 6 × 2 = 1 + 0,950 617 248 395 427 2;
  • 6) 0,950 617 248 395 427 2 × 2 = 1 + 0,901 234 496 790 854 4;
  • 7) 0,901 234 496 790 854 4 × 2 = 1 + 0,802 468 993 581 708 8;
  • 8) 0,802 468 993 581 708 8 × 2 = 1 + 0,604 937 987 163 417 6;
  • 9) 0,604 937 987 163 417 6 × 2 = 1 + 0,209 875 974 326 835 2;
  • 10) 0,209 875 974 326 835 2 × 2 = 0 + 0,419 751 948 653 670 4;
  • 11) 0,419 751 948 653 670 4 × 2 = 0 + 0,839 503 897 307 340 8;
  • 12) 0,839 503 897 307 340 8 × 2 = 1 + 0,679 007 794 614 681 6;
  • 13) 0,679 007 794 614 681 6 × 2 = 1 + 0,358 015 589 229 363 2;
  • 14) 0,358 015 589 229 363 2 × 2 = 0 + 0,716 031 178 458 726 4;
  • 15) 0,716 031 178 458 726 4 × 2 = 1 + 0,432 062 356 917 452 8;
  • 16) 0,432 062 356 917 452 8 × 2 = 0 + 0,864 124 713 834 905 6;
  • 17) 0,864 124 713 834 905 6 × 2 = 1 + 0,728 249 427 669 811 2;
  • 18) 0,728 249 427 669 811 2 × 2 = 1 + 0,456 498 855 339 622 4;
  • 19) 0,456 498 855 339 622 4 × 2 = 0 + 0,912 997 710 679 244 8;
  • 20) 0,912 997 710 679 244 8 × 2 = 1 + 0,825 995 421 358 489 6;
  • 21) 0,825 995 421 358 489 6 × 2 = 1 + 0,651 990 842 716 979 2;
  • 22) 0,651 990 842 716 979 2 × 2 = 1 + 0,303 981 685 433 958 4;
  • 23) 0,303 981 685 433 958 4 × 2 = 0 + 0,607 963 370 867 916 8;
  • 24) 0,607 963 370 867 916 8 × 2 = 1 + 0,215 926 741 735 833 6;
  • 25) 0,215 926 741 735 833 6 × 2 = 0 + 0,431 853 483 471 667 2;
  • 26) 0,431 853 483 471 667 2 × 2 = 0 + 0,863 706 966 943 334 4;
  • 27) 0,863 706 966 943 334 4 × 2 = 1 + 0,727 413 933 886 668 8;
  • 28) 0,727 413 933 886 668 8 × 2 = 1 + 0,454 827 867 773 337 6;
  • 29) 0,454 827 867 773 337 6 × 2 = 0 + 0,909 655 735 546 675 2;
  • 30) 0,909 655 735 546 675 2 × 2 = 1 + 0,819 311 471 093 350 4;
  • 31) 0,819 311 471 093 350 4 × 2 = 1 + 0,638 622 942 186 700 8;
  • 32) 0,638 622 942 186 700 8 × 2 = 1 + 0,277 245 884 373 401 6;
  • 33) 0,277 245 884 373 401 6 × 2 = 0 + 0,554 491 768 746 803 2;
  • 34) 0,554 491 768 746 803 2 × 2 = 1 + 0,108 983 537 493 606 4;
  • 35) 0,108 983 537 493 606 4 × 2 = 0 + 0,217 967 074 987 212 8;
  • 36) 0,217 967 074 987 212 8 × 2 = 0 + 0,435 934 149 974 425 6;
  • 37) 0,435 934 149 974 425 6 × 2 = 0 + 0,871 868 299 948 851 2;
  • 38) 0,871 868 299 948 851 2 × 2 = 1 + 0,743 736 599 897 702 4;
  • 39) 0,743 736 599 897 702 4 × 2 = 1 + 0,487 473 199 795 404 8;
  • 40) 0,487 473 199 795 404 8 × 2 = 0 + 0,974 946 399 590 809 6;
  • 41) 0,974 946 399 590 809 6 × 2 = 1 + 0,949 892 799 181 619 2;
  • 42) 0,949 892 799 181 619 2 × 2 = 1 + 0,899 785 598 363 238 4;
  • 43) 0,899 785 598 363 238 4 × 2 = 1 + 0,799 571 196 726 476 8;
  • 44) 0,799 571 196 726 476 8 × 2 = 1 + 0,599 142 393 452 953 6;
  • 45) 0,599 142 393 452 953 6 × 2 = 1 + 0,198 284 786 905 907 2;
  • 46) 0,198 284 786 905 907 2 × 2 = 0 + 0,396 569 573 811 814 4;
  • 47) 0,396 569 573 811 814 4 × 2 = 0 + 0,793 139 147 623 628 8;
  • 48) 0,793 139 147 623 628 8 × 2 = 1 + 0,586 278 295 247 257 6;
  • 49) 0,586 278 295 247 257 6 × 2 = 1 + 0,172 556 590 494 515 2;
  • 50) 0,172 556 590 494 515 2 × 2 = 0 + 0,345 113 180 989 030 4;
  • 51) 0,345 113 180 989 030 4 × 2 = 0 + 0,690 226 361 978 060 8;
  • 52) 0,690 226 361 978 060 8 × 2 = 1 + 0,380 452 723 956 121 6;
  • 53) 0,380 452 723 956 121 6 × 2 = 0 + 0,760 905 447 912 243 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,123 456 789 012 357 1(10) =

0,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0011 0111 0100 0110 1111 1001 1001 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1 302,123 456 789 012 357 1(10) =

101 0001 0110,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0011 0111 0100 0110 1111 1001 1001 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 10 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1 302,123 456 789 012 357 1(10) =

101 0001 0110,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0011 0111 0100 0110 1111 1001 1001 0(2) =

101 0001 0110,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0011 0111 0100 0110 1111 1001 1001 0(2) × 20 =

1,0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011 1110 0110 010(2) × 210


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 10

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011 1110 0110 010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

10 + 2(11-1) - 1 =

(10 + 1 023)(10) =

1 033(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 033 : 2 = 516 + 1;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1033(10) =

100 0000 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011 111 0011 0010 =

0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1001

Mantisă (52 biți) =
0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011


Numărul zecimal -1 302,123 456 789 012 357 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 1001 - 0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011

Distribuie

» Scriere -1 302,123 456 789 012 355 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100