-199,219 999 999 999 998 861 38 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -199,219 999 999 999 998 861 38(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-199,219 999 999 999 998 861 38(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-199,219 999 999 999 998 861 38| = 199,219 999 999 999 998 861 38


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 199.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 199 : 2 = 99 + 1;
  • 99 : 2 = 49 + 1;
  • 49 : 2 = 24 + 1;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

199(10) =

1100 0111(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,219 999 999 999 998 861 38.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,219 999 999 999 998 861 38 × 2 = 0 + 0,439 999 999 999 997 722 76;
  • 2) 0,439 999 999 999 997 722 76 × 2 = 0 + 0,879 999 999 999 995 445 52;
  • 3) 0,879 999 999 999 995 445 52 × 2 = 1 + 0,759 999 999 999 990 891 04;
  • 4) 0,759 999 999 999 990 891 04 × 2 = 1 + 0,519 999 999 999 981 782 08;
  • 5) 0,519 999 999 999 981 782 08 × 2 = 1 + 0,039 999 999 999 963 564 16;
  • 6) 0,039 999 999 999 963 564 16 × 2 = 0 + 0,079 999 999 999 927 128 32;
  • 7) 0,079 999 999 999 927 128 32 × 2 = 0 + 0,159 999 999 999 854 256 64;
  • 8) 0,159 999 999 999 854 256 64 × 2 = 0 + 0,319 999 999 999 708 513 28;
  • 9) 0,319 999 999 999 708 513 28 × 2 = 0 + 0,639 999 999 999 417 026 56;
  • 10) 0,639 999 999 999 417 026 56 × 2 = 1 + 0,279 999 999 998 834 053 12;
  • 11) 0,279 999 999 998 834 053 12 × 2 = 0 + 0,559 999 999 997 668 106 24;
  • 12) 0,559 999 999 997 668 106 24 × 2 = 1 + 0,119 999 999 995 336 212 48;
  • 13) 0,119 999 999 995 336 212 48 × 2 = 0 + 0,239 999 999 990 672 424 96;
  • 14) 0,239 999 999 990 672 424 96 × 2 = 0 + 0,479 999 999 981 344 849 92;
  • 15) 0,479 999 999 981 344 849 92 × 2 = 0 + 0,959 999 999 962 689 699 84;
  • 16) 0,959 999 999 962 689 699 84 × 2 = 1 + 0,919 999 999 925 379 399 68;
  • 17) 0,919 999 999 925 379 399 68 × 2 = 1 + 0,839 999 999 850 758 799 36;
  • 18) 0,839 999 999 850 758 799 36 × 2 = 1 + 0,679 999 999 701 517 598 72;
  • 19) 0,679 999 999 701 517 598 72 × 2 = 1 + 0,359 999 999 403 035 197 44;
  • 20) 0,359 999 999 403 035 197 44 × 2 = 0 + 0,719 999 998 806 070 394 88;
  • 21) 0,719 999 998 806 070 394 88 × 2 = 1 + 0,439 999 997 612 140 789 76;
  • 22) 0,439 999 997 612 140 789 76 × 2 = 0 + 0,879 999 995 224 281 579 52;
  • 23) 0,879 999 995 224 281 579 52 × 2 = 1 + 0,759 999 990 448 563 159 04;
  • 24) 0,759 999 990 448 563 159 04 × 2 = 1 + 0,519 999 980 897 126 318 08;
  • 25) 0,519 999 980 897 126 318 08 × 2 = 1 + 0,039 999 961 794 252 636 16;
  • 26) 0,039 999 961 794 252 636 16 × 2 = 0 + 0,079 999 923 588 505 272 32;
  • 27) 0,079 999 923 588 505 272 32 × 2 = 0 + 0,159 999 847 177 010 544 64;
  • 28) 0,159 999 847 177 010 544 64 × 2 = 0 + 0,319 999 694 354 021 089 28;
  • 29) 0,319 999 694 354 021 089 28 × 2 = 0 + 0,639 999 388 708 042 178 56;
  • 30) 0,639 999 388 708 042 178 56 × 2 = 1 + 0,279 998 777 416 084 357 12;
  • 31) 0,279 998 777 416 084 357 12 × 2 = 0 + 0,559 997 554 832 168 714 24;
  • 32) 0,559 997 554 832 168 714 24 × 2 = 1 + 0,119 995 109 664 337 428 48;
  • 33) 0,119 995 109 664 337 428 48 × 2 = 0 + 0,239 990 219 328 674 856 96;
  • 34) 0,239 990 219 328 674 856 96 × 2 = 0 + 0,479 980 438 657 349 713 92;
  • 35) 0,479 980 438 657 349 713 92 × 2 = 0 + 0,959 960 877 314 699 427 84;
  • 36) 0,959 960 877 314 699 427 84 × 2 = 1 + 0,919 921 754 629 398 855 68;
  • 37) 0,919 921 754 629 398 855 68 × 2 = 1 + 0,839 843 509 258 797 711 36;
  • 38) 0,839 843 509 258 797 711 36 × 2 = 1 + 0,679 687 018 517 595 422 72;
  • 39) 0,679 687 018 517 595 422 72 × 2 = 1 + 0,359 374 037 035 190 845 44;
  • 40) 0,359 374 037 035 190 845 44 × 2 = 0 + 0,718 748 074 070 381 690 88;
  • 41) 0,718 748 074 070 381 690 88 × 2 = 1 + 0,437 496 148 140 763 381 76;
  • 42) 0,437 496 148 140 763 381 76 × 2 = 0 + 0,874 992 296 281 526 763 52;
  • 43) 0,874 992 296 281 526 763 52 × 2 = 1 + 0,749 984 592 563 053 527 04;
  • 44) 0,749 984 592 563 053 527 04 × 2 = 1 + 0,499 969 185 126 107 054 08;
  • 45) 0,499 969 185 126 107 054 08 × 2 = 0 + 0,999 938 370 252 214 108 16;
  • 46) 0,999 938 370 252 214 108 16 × 2 = 1 + 0,999 876 740 504 428 216 32;
  • 47) 0,999 876 740 504 428 216 32 × 2 = 1 + 0,999 753 481 008 856 432 64;
  • 48) 0,999 753 481 008 856 432 64 × 2 = 1 + 0,999 506 962 017 712 865 28;
  • 49) 0,999 506 962 017 712 865 28 × 2 = 1 + 0,999 013 924 035 425 730 56;
  • 50) 0,999 013 924 035 425 730 56 × 2 = 1 + 0,998 027 848 070 851 461 12;
  • 51) 0,998 027 848 070 851 461 12 × 2 = 1 + 0,996 055 696 141 702 922 24;
  • 52) 0,996 055 696 141 702 922 24 × 2 = 1 + 0,992 111 392 283 405 844 48;
  • 53) 0,992 111 392 283 405 844 48 × 2 = 1 + 0,984 222 784 566 811 688 96;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,219 999 999 999 998 861 38(10) =

0,0011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

199,219 999 999 999 998 861 38(10) =

1100 0111,0011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


199,219 999 999 999 998 861 38(10) =

1100 0111,0011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1(2) =

1100 0111,0011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 1(2) × 20 =

1,1000 1110 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1111 1111(2) × 27


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 7

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 1110 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1111 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

7 + 2(11-1) - 1 =

(7 + 1 023)(10) =

1 030(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 030 : 2 = 515 + 0;
  • 515 : 2 = 257 + 1;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1030(10) =

100 0000 0110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 1110 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1111 1111 =

1000 1110 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0110

Mantisă (52 biți) =
1000 1110 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110


Numărul zecimal -199,219 999 999 999 998 861 38 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 0110 - 1000 1110 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110

Distribuie

» Scriere -199,219 999 999 999 998 861 08 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2025 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100