-24,901 900 000 000 004 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -24,901 900 000 000 004 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-24,901 900 000 000 004 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-24,901 900 000 000 004 1| = 24,901 900 000 000 004 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 24.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

24(10) =

1 1000(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,901 900 000 000 004 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,901 900 000 000 004 1 × 2 = 1 + 0,803 800 000 000 008 2;
  • 2) 0,803 800 000 000 008 2 × 2 = 1 + 0,607 600 000 000 016 4;
  • 3) 0,607 600 000 000 016 4 × 2 = 1 + 0,215 200 000 000 032 8;
  • 4) 0,215 200 000 000 032 8 × 2 = 0 + 0,430 400 000 000 065 6;
  • 5) 0,430 400 000 000 065 6 × 2 = 0 + 0,860 800 000 000 131 2;
  • 6) 0,860 800 000 000 131 2 × 2 = 1 + 0,721 600 000 000 262 4;
  • 7) 0,721 600 000 000 262 4 × 2 = 1 + 0,443 200 000 000 524 8;
  • 8) 0,443 200 000 000 524 8 × 2 = 0 + 0,886 400 000 001 049 6;
  • 9) 0,886 400 000 001 049 6 × 2 = 1 + 0,772 800 000 002 099 2;
  • 10) 0,772 800 000 002 099 2 × 2 = 1 + 0,545 600 000 004 198 4;
  • 11) 0,545 600 000 004 198 4 × 2 = 1 + 0,091 200 000 008 396 8;
  • 12) 0,091 200 000 008 396 8 × 2 = 0 + 0,182 400 000 016 793 6;
  • 13) 0,182 400 000 016 793 6 × 2 = 0 + 0,364 800 000 033 587 2;
  • 14) 0,364 800 000 033 587 2 × 2 = 0 + 0,729 600 000 067 174 4;
  • 15) 0,729 600 000 067 174 4 × 2 = 1 + 0,459 200 000 134 348 8;
  • 16) 0,459 200 000 134 348 8 × 2 = 0 + 0,918 400 000 268 697 6;
  • 17) 0,918 400 000 268 697 6 × 2 = 1 + 0,836 800 000 537 395 2;
  • 18) 0,836 800 000 537 395 2 × 2 = 1 + 0,673 600 001 074 790 4;
  • 19) 0,673 600 001 074 790 4 × 2 = 1 + 0,347 200 002 149 580 8;
  • 20) 0,347 200 002 149 580 8 × 2 = 0 + 0,694 400 004 299 161 6;
  • 21) 0,694 400 004 299 161 6 × 2 = 1 + 0,388 800 008 598 323 2;
  • 22) 0,388 800 008 598 323 2 × 2 = 0 + 0,777 600 017 196 646 4;
  • 23) 0,777 600 017 196 646 4 × 2 = 1 + 0,555 200 034 393 292 8;
  • 24) 0,555 200 034 393 292 8 × 2 = 1 + 0,110 400 068 786 585 6;
  • 25) 0,110 400 068 786 585 6 × 2 = 0 + 0,220 800 137 573 171 2;
  • 26) 0,220 800 137 573 171 2 × 2 = 0 + 0,441 600 275 146 342 4;
  • 27) 0,441 600 275 146 342 4 × 2 = 0 + 0,883 200 550 292 684 8;
  • 28) 0,883 200 550 292 684 8 × 2 = 1 + 0,766 401 100 585 369 6;
  • 29) 0,766 401 100 585 369 6 × 2 = 1 + 0,532 802 201 170 739 2;
  • 30) 0,532 802 201 170 739 2 × 2 = 1 + 0,065 604 402 341 478 4;
  • 31) 0,065 604 402 341 478 4 × 2 = 0 + 0,131 208 804 682 956 8;
  • 32) 0,131 208 804 682 956 8 × 2 = 0 + 0,262 417 609 365 913 6;
  • 33) 0,262 417 609 365 913 6 × 2 = 0 + 0,524 835 218 731 827 2;
  • 34) 0,524 835 218 731 827 2 × 2 = 1 + 0,049 670 437 463 654 4;
  • 35) 0,049 670 437 463 654 4 × 2 = 0 + 0,099 340 874 927 308 8;
  • 36) 0,099 340 874 927 308 8 × 2 = 0 + 0,198 681 749 854 617 6;
  • 37) 0,198 681 749 854 617 6 × 2 = 0 + 0,397 363 499 709 235 2;
  • 38) 0,397 363 499 709 235 2 × 2 = 0 + 0,794 726 999 418 470 4;
  • 39) 0,794 726 999 418 470 4 × 2 = 1 + 0,589 453 998 836 940 8;
  • 40) 0,589 453 998 836 940 8 × 2 = 1 + 0,178 907 997 673 881 6;
  • 41) 0,178 907 997 673 881 6 × 2 = 0 + 0,357 815 995 347 763 2;
  • 42) 0,357 815 995 347 763 2 × 2 = 0 + 0,715 631 990 695 526 4;
  • 43) 0,715 631 990 695 526 4 × 2 = 1 + 0,431 263 981 391 052 8;
  • 44) 0,431 263 981 391 052 8 × 2 = 0 + 0,862 527 962 782 105 6;
  • 45) 0,862 527 962 782 105 6 × 2 = 1 + 0,725 055 925 564 211 2;
  • 46) 0,725 055 925 564 211 2 × 2 = 1 + 0,450 111 851 128 422 4;
  • 47) 0,450 111 851 128 422 4 × 2 = 0 + 0,900 223 702 256 844 8;
  • 48) 0,900 223 702 256 844 8 × 2 = 1 + 0,800 447 404 513 689 6;
  • 49) 0,800 447 404 513 689 6 × 2 = 1 + 0,600 894 809 027 379 2;
  • 50) 0,600 894 809 027 379 2 × 2 = 1 + 0,201 789 618 054 758 4;
  • 51) 0,201 789 618 054 758 4 × 2 = 0 + 0,403 579 236 109 516 8;
  • 52) 0,403 579 236 109 516 8 × 2 = 0 + 0,807 158 472 219 033 6;
  • 53) 0,807 158 472 219 033 6 × 2 = 1 + 0,614 316 944 438 067 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,901 900 000 000 004 1(10) =

0,1110 0110 1110 0010 1110 1011 0001 1100 0100 0011 0010 1101 1100 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

24,901 900 000 000 004 1(10) =

1 1000,1110 0110 1110 0010 1110 1011 0001 1100 0100 0011 0010 1101 1100 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


24,901 900 000 000 004 1(10) =

1 1000,1110 0110 1110 0010 1110 1011 0001 1100 0100 0011 0010 1101 1100 1(2) =

1 1000,1110 0110 1110 0010 1110 1011 0001 1100 0100 0011 0010 1101 1100 1(2) × 20 =

1,1000 1110 0110 1110 0010 1110 1011 0001 1100 0100 0011 0010 1101 1100 1(2) × 24


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 4

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 1110 0110 1110 0010 1110 1011 0001 1100 0100 0011 0010 1101 1100 1


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

4 + 2(11-1) - 1 =

(4 + 1 023)(10) =

1 027(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 027 : 2 = 513 + 1;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1027(10) =

100 0000 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 1110 0110 1110 0010 1110 1011 0001 1100 0100 0011 0010 1101 1 1001 =

1000 1110 0110 1110 0010 1110 1011 0001 1100 0100 0011 0010 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0011

Mantisă (52 biți) =
1000 1110 0110 1110 0010 1110 1011 0001 1100 0100 0011 0010 1101


Numărul zecimal -24,901 900 000 000 004 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 0011 - 1000 1110 0110 1110 0010 1110 1011 0001 1100 0100 0011 0010 1101

Distribuie

» Scriere -24,901 900 000 000 007 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 03, 2026 [Martie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Martie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100