-29,931 663 088 704 054 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -29,931 663 088 704 054 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-29,931 663 088 704 054 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-29,931 663 088 704 054 8| = 29,931 663 088 704 054 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 29.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

29(10) =

1 1101(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,931 663 088 704 054 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,931 663 088 704 054 8 × 2 = 1 + 0,863 326 177 408 109 6;
  • 2) 0,863 326 177 408 109 6 × 2 = 1 + 0,726 652 354 816 219 2;
  • 3) 0,726 652 354 816 219 2 × 2 = 1 + 0,453 304 709 632 438 4;
  • 4) 0,453 304 709 632 438 4 × 2 = 0 + 0,906 609 419 264 876 8;
  • 5) 0,906 609 419 264 876 8 × 2 = 1 + 0,813 218 838 529 753 6;
  • 6) 0,813 218 838 529 753 6 × 2 = 1 + 0,626 437 677 059 507 2;
  • 7) 0,626 437 677 059 507 2 × 2 = 1 + 0,252 875 354 119 014 4;
  • 8) 0,252 875 354 119 014 4 × 2 = 0 + 0,505 750 708 238 028 8;
  • 9) 0,505 750 708 238 028 8 × 2 = 1 + 0,011 501 416 476 057 6;
  • 10) 0,011 501 416 476 057 6 × 2 = 0 + 0,023 002 832 952 115 2;
  • 11) 0,023 002 832 952 115 2 × 2 = 0 + 0,046 005 665 904 230 4;
  • 12) 0,046 005 665 904 230 4 × 2 = 0 + 0,092 011 331 808 460 8;
  • 13) 0,092 011 331 808 460 8 × 2 = 0 + 0,184 022 663 616 921 6;
  • 14) 0,184 022 663 616 921 6 × 2 = 0 + 0,368 045 327 233 843 2;
  • 15) 0,368 045 327 233 843 2 × 2 = 0 + 0,736 090 654 467 686 4;
  • 16) 0,736 090 654 467 686 4 × 2 = 1 + 0,472 181 308 935 372 8;
  • 17) 0,472 181 308 935 372 8 × 2 = 0 + 0,944 362 617 870 745 6;
  • 18) 0,944 362 617 870 745 6 × 2 = 1 + 0,888 725 235 741 491 2;
  • 19) 0,888 725 235 741 491 2 × 2 = 1 + 0,777 450 471 482 982 4;
  • 20) 0,777 450 471 482 982 4 × 2 = 1 + 0,554 900 942 965 964 8;
  • 21) 0,554 900 942 965 964 8 × 2 = 1 + 0,109 801 885 931 929 6;
  • 22) 0,109 801 885 931 929 6 × 2 = 0 + 0,219 603 771 863 859 2;
  • 23) 0,219 603 771 863 859 2 × 2 = 0 + 0,439 207 543 727 718 4;
  • 24) 0,439 207 543 727 718 4 × 2 = 0 + 0,878 415 087 455 436 8;
  • 25) 0,878 415 087 455 436 8 × 2 = 1 + 0,756 830 174 910 873 6;
  • 26) 0,756 830 174 910 873 6 × 2 = 1 + 0,513 660 349 821 747 2;
  • 27) 0,513 660 349 821 747 2 × 2 = 1 + 0,027 320 699 643 494 4;
  • 28) 0,027 320 699 643 494 4 × 2 = 0 + 0,054 641 399 286 988 8;
  • 29) 0,054 641 399 286 988 8 × 2 = 0 + 0,109 282 798 573 977 6;
  • 30) 0,109 282 798 573 977 6 × 2 = 0 + 0,218 565 597 147 955 2;
  • 31) 0,218 565 597 147 955 2 × 2 = 0 + 0,437 131 194 295 910 4;
  • 32) 0,437 131 194 295 910 4 × 2 = 0 + 0,874 262 388 591 820 8;
  • 33) 0,874 262 388 591 820 8 × 2 = 1 + 0,748 524 777 183 641 6;
  • 34) 0,748 524 777 183 641 6 × 2 = 1 + 0,497 049 554 367 283 2;
  • 35) 0,497 049 554 367 283 2 × 2 = 0 + 0,994 099 108 734 566 4;
  • 36) 0,994 099 108 734 566 4 × 2 = 1 + 0,988 198 217 469 132 8;
  • 37) 0,988 198 217 469 132 8 × 2 = 1 + 0,976 396 434 938 265 6;
  • 38) 0,976 396 434 938 265 6 × 2 = 1 + 0,952 792 869 876 531 2;
  • 39) 0,952 792 869 876 531 2 × 2 = 1 + 0,905 585 739 753 062 4;
  • 40) 0,905 585 739 753 062 4 × 2 = 1 + 0,811 171 479 506 124 8;
  • 41) 0,811 171 479 506 124 8 × 2 = 1 + 0,622 342 959 012 249 6;
  • 42) 0,622 342 959 012 249 6 × 2 = 1 + 0,244 685 918 024 499 2;
  • 43) 0,244 685 918 024 499 2 × 2 = 0 + 0,489 371 836 048 998 4;
  • 44) 0,489 371 836 048 998 4 × 2 = 0 + 0,978 743 672 097 996 8;
  • 45) 0,978 743 672 097 996 8 × 2 = 1 + 0,957 487 344 195 993 6;
  • 46) 0,957 487 344 195 993 6 × 2 = 1 + 0,914 974 688 391 987 2;
  • 47) 0,914 974 688 391 987 2 × 2 = 1 + 0,829 949 376 783 974 4;
  • 48) 0,829 949 376 783 974 4 × 2 = 1 + 0,659 898 753 567 948 8;
  • 49) 0,659 898 753 567 948 8 × 2 = 1 + 0,319 797 507 135 897 6;
  • 50) 0,319 797 507 135 897 6 × 2 = 0 + 0,639 595 014 271 795 2;
  • 51) 0,639 595 014 271 795 2 × 2 = 1 + 0,279 190 028 543 590 4;
  • 52) 0,279 190 028 543 590 4 × 2 = 0 + 0,558 380 057 087 180 8;
  • 53) 0,558 380 057 087 180 8 × 2 = 1 + 0,116 760 114 174 361 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,931 663 088 704 054 8(10) =

0,1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1100 1111 1010 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

29,931 663 088 704 054 8(10) =

1 1101,1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1100 1111 1010 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


29,931 663 088 704 054 8(10) =

1 1101,1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1100 1111 1010 1(2) =

1 1101,1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1100 1111 1010 1(2) × 20 =

1,1101 1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1100 1111 1010 1(2) × 24


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 4

Mantisă (nenormalizată):
1,1101 1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1100 1111 1010 1


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

4 + 2(11-1) - 1 =

(4 + 1 023)(10) =

1 027(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 027 : 2 = 513 + 1;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1027(10) =

100 0000 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1101 1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1100 1111 1 0101 =

1101 1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1100 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0011

Mantisă (52 biți) =
1101 1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1100 1111


Numărul zecimal -29,931 663 088 704 054 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 0011 - 1101 1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1100 1111

Distribuie

» Scriere -29,931 663 088 704 063 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100