-3,139 999 999 998 15 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -3,139 999 999 998 15(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-3,139 999 999 998 15(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-3,139 999 999 998 15| = 3,139 999 999 998 15


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 3.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

3(10) =

11(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,139 999 999 998 15.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,139 999 999 998 15 × 2 = 0 + 0,279 999 999 996 3;
  • 2) 0,279 999 999 996 3 × 2 = 0 + 0,559 999 999 992 6;
  • 3) 0,559 999 999 992 6 × 2 = 1 + 0,119 999 999 985 2;
  • 4) 0,119 999 999 985 2 × 2 = 0 + 0,239 999 999 970 4;
  • 5) 0,239 999 999 970 4 × 2 = 0 + 0,479 999 999 940 8;
  • 6) 0,479 999 999 940 8 × 2 = 0 + 0,959 999 999 881 6;
  • 7) 0,959 999 999 881 6 × 2 = 1 + 0,919 999 999 763 2;
  • 8) 0,919 999 999 763 2 × 2 = 1 + 0,839 999 999 526 4;
  • 9) 0,839 999 999 526 4 × 2 = 1 + 0,679 999 999 052 8;
  • 10) 0,679 999 999 052 8 × 2 = 1 + 0,359 999 998 105 6;
  • 11) 0,359 999 998 105 6 × 2 = 0 + 0,719 999 996 211 2;
  • 12) 0,719 999 996 211 2 × 2 = 1 + 0,439 999 992 422 4;
  • 13) 0,439 999 992 422 4 × 2 = 0 + 0,879 999 984 844 8;
  • 14) 0,879 999 984 844 8 × 2 = 1 + 0,759 999 969 689 6;
  • 15) 0,759 999 969 689 6 × 2 = 1 + 0,519 999 939 379 2;
  • 16) 0,519 999 939 379 2 × 2 = 1 + 0,039 999 878 758 4;
  • 17) 0,039 999 878 758 4 × 2 = 0 + 0,079 999 757 516 8;
  • 18) 0,079 999 757 516 8 × 2 = 0 + 0,159 999 515 033 6;
  • 19) 0,159 999 515 033 6 × 2 = 0 + 0,319 999 030 067 2;
  • 20) 0,319 999 030 067 2 × 2 = 0 + 0,639 998 060 134 4;
  • 21) 0,639 998 060 134 4 × 2 = 1 + 0,279 996 120 268 8;
  • 22) 0,279 996 120 268 8 × 2 = 0 + 0,559 992 240 537 6;
  • 23) 0,559 992 240 537 6 × 2 = 1 + 0,119 984 481 075 2;
  • 24) 0,119 984 481 075 2 × 2 = 0 + 0,239 968 962 150 4;
  • 25) 0,239 968 962 150 4 × 2 = 0 + 0,479 937 924 300 8;
  • 26) 0,479 937 924 300 8 × 2 = 0 + 0,959 875 848 601 6;
  • 27) 0,959 875 848 601 6 × 2 = 1 + 0,919 751 697 203 2;
  • 28) 0,919 751 697 203 2 × 2 = 1 + 0,839 503 394 406 4;
  • 29) 0,839 503 394 406 4 × 2 = 1 + 0,679 006 788 812 8;
  • 30) 0,679 006 788 812 8 × 2 = 1 + 0,358 013 577 625 6;
  • 31) 0,358 013 577 625 6 × 2 = 0 + 0,716 027 155 251 2;
  • 32) 0,716 027 155 251 2 × 2 = 1 + 0,432 054 310 502 4;
  • 33) 0,432 054 310 502 4 × 2 = 0 + 0,864 108 621 004 8;
  • 34) 0,864 108 621 004 8 × 2 = 1 + 0,728 217 242 009 6;
  • 35) 0,728 217 242 009 6 × 2 = 1 + 0,456 434 484 019 2;
  • 36) 0,456 434 484 019 2 × 2 = 0 + 0,912 868 968 038 4;
  • 37) 0,912 868 968 038 4 × 2 = 1 + 0,825 737 936 076 8;
  • 38) 0,825 737 936 076 8 × 2 = 1 + 0,651 475 872 153 6;
  • 39) 0,651 475 872 153 6 × 2 = 1 + 0,302 951 744 307 2;
  • 40) 0,302 951 744 307 2 × 2 = 0 + 0,605 903 488 614 4;
  • 41) 0,605 903 488 614 4 × 2 = 1 + 0,211 806 977 228 8;
  • 42) 0,211 806 977 228 8 × 2 = 0 + 0,423 613 954 457 6;
  • 43) 0,423 613 954 457 6 × 2 = 0 + 0,847 227 908 915 2;
  • 44) 0,847 227 908 915 2 × 2 = 1 + 0,694 455 817 830 4;
  • 45) 0,694 455 817 830 4 × 2 = 1 + 0,388 911 635 660 8;
  • 46) 0,388 911 635 660 8 × 2 = 0 + 0,777 823 271 321 6;
  • 47) 0,777 823 271 321 6 × 2 = 1 + 0,555 646 542 643 2;
  • 48) 0,555 646 542 643 2 × 2 = 1 + 0,111 293 085 286 4;
  • 49) 0,111 293 085 286 4 × 2 = 0 + 0,222 586 170 572 8;
  • 50) 0,222 586 170 572 8 × 2 = 0 + 0,445 172 341 145 6;
  • 51) 0,445 172 341 145 6 × 2 = 0 + 0,890 344 682 291 2;
  • 52) 0,890 344 682 291 2 × 2 = 1 + 0,780 689 364 582 4;
  • 53) 0,780 689 364 582 4 × 2 = 1 + 0,561 378 729 164 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,139 999 999 998 15(10) =

0,0010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1110 1001 1011 0001 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

3,139 999 999 998 15(10) =

11,0010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1110 1001 1011 0001 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


3,139 999 999 998 15(10) =

11,0010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1110 1001 1011 0001 1(2) =

11,0010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0110 1110 1001 1011 0001 1(2) × 20 =

1,1001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 0100 1101 1000 11(2) × 21


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 0100 1101 1000 11


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 0100 1101 1000 11 =

1001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 0100 1101 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
1001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 0100 1101 1000


Numărul zecimal -3,139 999 999 998 15 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 0000 - 1001 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 0100 1101 1000

Distribuie

» Scriere -3,139 999 999 998 81 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100