-463,319 999 999 999 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -463,319 999 999 999 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-463,319 999 999 999 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-463,319 999 999 999 4| = 463,319 999 999 999 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 463.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 463 : 2 = 231 + 1;
  • 231 : 2 = 115 + 1;
  • 115 : 2 = 57 + 1;
  • 57 : 2 = 28 + 1;
  • 28 : 2 = 14 + 0;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

463(10) =

1 1100 1111(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,319 999 999 999 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,319 999 999 999 4 × 2 = 0 + 0,639 999 999 998 8;
  • 2) 0,639 999 999 998 8 × 2 = 1 + 0,279 999 999 997 6;
  • 3) 0,279 999 999 997 6 × 2 = 0 + 0,559 999 999 995 2;
  • 4) 0,559 999 999 995 2 × 2 = 1 + 0,119 999 999 990 4;
  • 5) 0,119 999 999 990 4 × 2 = 0 + 0,239 999 999 980 8;
  • 6) 0,239 999 999 980 8 × 2 = 0 + 0,479 999 999 961 6;
  • 7) 0,479 999 999 961 6 × 2 = 0 + 0,959 999 999 923 2;
  • 8) 0,959 999 999 923 2 × 2 = 1 + 0,919 999 999 846 4;
  • 9) 0,919 999 999 846 4 × 2 = 1 + 0,839 999 999 692 8;
  • 10) 0,839 999 999 692 8 × 2 = 1 + 0,679 999 999 385 6;
  • 11) 0,679 999 999 385 6 × 2 = 1 + 0,359 999 998 771 2;
  • 12) 0,359 999 998 771 2 × 2 = 0 + 0,719 999 997 542 4;
  • 13) 0,719 999 997 542 4 × 2 = 1 + 0,439 999 995 084 8;
  • 14) 0,439 999 995 084 8 × 2 = 0 + 0,879 999 990 169 6;
  • 15) 0,879 999 990 169 6 × 2 = 1 + 0,759 999 980 339 2;
  • 16) 0,759 999 980 339 2 × 2 = 1 + 0,519 999 960 678 4;
  • 17) 0,519 999 960 678 4 × 2 = 1 + 0,039 999 921 356 8;
  • 18) 0,039 999 921 356 8 × 2 = 0 + 0,079 999 842 713 6;
  • 19) 0,079 999 842 713 6 × 2 = 0 + 0,159 999 685 427 2;
  • 20) 0,159 999 685 427 2 × 2 = 0 + 0,319 999 370 854 4;
  • 21) 0,319 999 370 854 4 × 2 = 0 + 0,639 998 741 708 8;
  • 22) 0,639 998 741 708 8 × 2 = 1 + 0,279 997 483 417 6;
  • 23) 0,279 997 483 417 6 × 2 = 0 + 0,559 994 966 835 2;
  • 24) 0,559 994 966 835 2 × 2 = 1 + 0,119 989 933 670 4;
  • 25) 0,119 989 933 670 4 × 2 = 0 + 0,239 979 867 340 8;
  • 26) 0,239 979 867 340 8 × 2 = 0 + 0,479 959 734 681 6;
  • 27) 0,479 959 734 681 6 × 2 = 0 + 0,959 919 469 363 2;
  • 28) 0,959 919 469 363 2 × 2 = 1 + 0,919 838 938 726 4;
  • 29) 0,919 838 938 726 4 × 2 = 1 + 0,839 677 877 452 8;
  • 30) 0,839 677 877 452 8 × 2 = 1 + 0,679 355 754 905 6;
  • 31) 0,679 355 754 905 6 × 2 = 1 + 0,358 711 509 811 2;
  • 32) 0,358 711 509 811 2 × 2 = 0 + 0,717 423 019 622 4;
  • 33) 0,717 423 019 622 4 × 2 = 1 + 0,434 846 039 244 8;
  • 34) 0,434 846 039 244 8 × 2 = 0 + 0,869 692 078 489 6;
  • 35) 0,869 692 078 489 6 × 2 = 1 + 0,739 384 156 979 2;
  • 36) 0,739 384 156 979 2 × 2 = 1 + 0,478 768 313 958 4;
  • 37) 0,478 768 313 958 4 × 2 = 0 + 0,957 536 627 916 8;
  • 38) 0,957 536 627 916 8 × 2 = 1 + 0,915 073 255 833 6;
  • 39) 0,915 073 255 833 6 × 2 = 1 + 0,830 146 511 667 2;
  • 40) 0,830 146 511 667 2 × 2 = 1 + 0,660 293 023 334 4;
  • 41) 0,660 293 023 334 4 × 2 = 1 + 0,320 586 046 668 8;
  • 42) 0,320 586 046 668 8 × 2 = 0 + 0,641 172 093 337 6;
  • 43) 0,641 172 093 337 6 × 2 = 1 + 0,282 344 186 675 2;
  • 44) 0,282 344 186 675 2 × 2 = 0 + 0,564 688 373 350 4;
  • 45) 0,564 688 373 350 4 × 2 = 1 + 0,129 376 746 700 8;
  • 46) 0,129 376 746 700 8 × 2 = 0 + 0,258 753 493 401 6;
  • 47) 0,258 753 493 401 6 × 2 = 0 + 0,517 506 986 803 2;
  • 48) 0,517 506 986 803 2 × 2 = 1 + 0,035 013 973 606 4;
  • 49) 0,035 013 973 606 4 × 2 = 0 + 0,070 027 947 212 8;
  • 50) 0,070 027 947 212 8 × 2 = 0 + 0,140 055 894 425 6;
  • 51) 0,140 055 894 425 6 × 2 = 0 + 0,280 111 788 851 2;
  • 52) 0,280 111 788 851 2 × 2 = 0 + 0,560 223 577 702 4;
  • 53) 0,560 223 577 702 4 × 2 = 1 + 0,120 447 155 404 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,319 999 999 999 4(10) =

0,0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1010 1001 0000 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

463,319 999 999 999 4(10) =

1 1100 1111,0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1010 1001 0000 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 8 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


463,319 999 999 999 4(10) =

1 1100 1111,0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1010 1001 0000 1(2) =

1 1100 1111,0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1010 1001 0000 1(2) × 20 =

1,1100 1111 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1010 1001 0000 1(2) × 28


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 8

Mantisă (nenormalizată):
1,1100 1111 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1010 1001 0000 1


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

8 + 2(11-1) - 1 =

(8 + 1 023)(10) =

1 031(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 031 : 2 = 515 + 1;
  • 515 : 2 = 257 + 1;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1031(10) =

100 0000 0111(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1100 1111 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1010 1 0010 0001 =

1100 1111 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0111

Mantisă (52 biți) =
1100 1111 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1010


Numărul zecimal -463,319 999 999 999 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 0111 - 1100 1111 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1010

Distribuie

» Scriere -463,319 999 999 995 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100